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Analyse fonctionnelle
et finalement 1 f ( z) dz = 1 f (a) dz. Nous allons calculer cette
'Y z - a
'YE z - a
dernière intégrale, en paramétrant le cercle "le par z = a+ geit pour
t E [O, 271"] d'où :
1
f(a) dz = [27r f(a)i_~eit dt= if(a) [27r dt= 27ri/{a)
'YE z - a lo
gei
Jo
.
.
.
1 J f(z)
et on obtient bien la relation /(a)= - 2 . ,., --dz.
irr , z-a
•
COROLLAIRE 13. 72. - Si n est un ouvert de C, et si f
dérivable de dérivée continue, elle est analytique sur n.
n 1---+ c est
Je pense que vous êtes sensibles à la simplicité de cette condition,
surtout si on la compare à la condition d'analycité dans le cas réel
(Théorème 13.60).
De plus, ceci entraîne aussi que f dérivable une fois, avec /' continue
implique f indéfiniment dérivable! C'est fabuleux. Qui oserait soutenir
que les complexes c'est compliqué.
0
Soit a dans n, D un disque tel que a E D C D C n, b le centre du
disque. On a /(a) = - 2 ~ 1 f(z) dz, avec ' Y bord orienté de D.
i7r 'Y z - a
Or - 1 -
=
b 1 b
et, sur le bord du disque, z =F b, donc
z-a
z- + -a
1
1
1 a - b 1
la - bl
---=- =
(
_ b) , avec -=--b = - - si r est le rayon
z a
(z-b) 1 __ a _
z
r
z-b
o la-bl
du disque D, soit, comme a E D, - - = k < 1.
r
Mais alors la série de terme général (: = : ) n converge normalement
pour z = b + reit, et on a
. f(a) = -4-1 f(z) (f: (a - br) dz
2i71' 'Y z - b n=O (z - b)n
= _1 1 ~ f(z)(a - b)n dz
2i7r
L...i (z - b)n+l
'Y n=O