Séries entières 181
On va en déduire un résultat qui montrera que f holomorphe de
dérivée continue est analytique! On est bien loin des difficultés de l'analycité dans le cas réel.
THÉORÈME 13. 71. - Soit f holomorphe, de dérivée continue sur n ouvert
0
de C, D un disque de bord orienté "f, (sens direct) contenu dans 0 et a E D,
1 j f(z)
on a f(a) = - 2 .
--dz.
·
i7r 'Y z - a
0
On entoure a d'un disque De de rayon ê tel que De CD. Soit g définie
f(z) - f(a)
sur 0 par g(a) = f'(a) et g(z) =
si z E 0 - {a}.
z-a
Cette fonction g est continue en a, donc sur n, dérivable sur n - {a}
et de dérivée continue sur n - {a}.
Le Théorème 13.70 s'applique et donne j g(z)dz = 0, soit j f(z) dz
'Y
-yZ-a
= j f(a) dz vu la définition de g(z) sur 'Y·
'Y z - a
Mais sur le domaine 'D formé de D privé du disque De de centre a
et de rayon ê, la fonction z ~ f(a) est holomorphe de dérivée continue,
z-a
donc le Théorème 13.69 s'applique, et comme le bord orienté â1J est égal
à 'Y - "fe, on a
·