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Analyse fonctionnelle
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Soit Dun disque fermé avec a ED c D c n, et 6. = D, privé d'un
0
disque de centre a de rayon ê > 0, assez petit pour être contenu dans D.
Sur 6., la fonction g est holomorphe, de dérivée g' continue donc
f g = O. Or 86. est formé du bord de D orienté classiquement dans
lat:.
le sens trigonométrique et du bord du disque De de centre a, de rayon ê
orienté en sens indirect.
Si on note 'Y = 8D et 'Ye = 8De, (sens direct tous les deux), on a
{ g = 0 = 1 g -1 g, donc 1 g = 1 g, ce qui laisse supposer que
} ôA
'Y
'Ye
'Y
'Ye
cela ne dépend pas de e.
Comme g, continue en a, est localement bornée, il existe co > 0 et
une constante M telle que lz - al ~ co donne lg(z)I ~ M, mais alors, si
O < e < e0 , la longueur du cercle 'Ye étant 27rê on aura li,, gl ~ 27reM,
donc li gl ~ 27rMê, ceci pour toute E]O, eo], à la limite i g =O. On a
donc:
THÉORÈME 13. 70. - Si g est holomorphe sur S1 - {a}, S1 ouvert de C,
continue sur n, g 1 étant continue sur n - {a}, pour tout disque D tel que
a ED c D c n, on a: f g(z)dz =o.
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