178
Analyse fonctionnelle
L dé . ,
1 1 . . d f(zo + h) - f(zo) 1
a nvee en zo est a umte e
h
.orsque
h E C - {O} et tend vers O.
THÉORÈME 13.68. - La fonction .f est dérivable en zo si et seulement si
f est différentielle en (xo, Yo) E fi, la différent~lle ::_n (xo, Yo) étant une
similitude directe. (Voir en 13.66 les notations f et m.
Supposons d'abord l'existence de f'(zo) = À+ iµ avec À etµ réels.
C'est qu'il existe une fonction e : h ...-+- e( h) = e1 ( h) + ie2 ( h) qui tend vers
0 lorsque h tend vers 0 dans C, et telle que
f(zo + h) - f(zo) = (..\ + iµ)h + he(h),
(e1 et e2 à valeurs réelles).
En posant h = u + iv, et en prenant parties réelles et imaginaires, on
a:
a(xo+iyo+u+iv)-a(xo+iyo) = Àu-µv+ue1(u+iv)-ve2(u+iv)
.B(xo+iyo+u+iv)-,B(xo+iyo) = µu+..\v+ve1(u+iv)+ue2(u+iv).
soit encore, en termes d'applications den dans IR, (voir 13.66),
a(xo + u, Yo + v) - a(xo, Yo) = Àu - µv + uêi(u,v) - ve2(u, v)
P(xo + u, Yo + v) - P(xo, Yo) = µu + ÀV + ve1(u, v) + ue2(u, v).
Comme ue1 ( u, V )-ve2 ( U, V) et ve1 ( U, V )+ue2 ( U, V) sont 0 ( JU2+V2),
(si on pose u = p cos (J, v = p sin (J, ces expressions contiennent p en
facteur de quelque chose qui tend ,!ers 0 si p tend vers 0), les relations
écrites prouvent que l'application f est différentiable, la matrice jacobienne (voir définition 16.36) étant ( ~ -: ) , donc celle d'une similitude
dire~. Réciproquement, si df(xo, Yo) est une similitude directe, on remonte les calculs pour obtenir l'existence de f'(zo).
•
Soit alors 'Y un arc paramétré de classe C 1 , à support dans fi. C'est la
donnée d'un couple(/, g) avec l intervalle de R et g fonction de classe C 1
de I dans IR 2 : t ...-+- g(t) = (p(t),q(t)) telle que {(p(t),q(t)); t E /} C fi.
L'ensemble des p(t) +iq(t) est alors dans O. On suppose désormais que I
Analyse fonctionnelle
L dé . ,
1 1 . . d f(zo + h) - f(zo) 1
a nvee en zo est a umte e
h
.orsque
h E C - {O} et tend vers O.
THÉORÈME 13.68. - La fonction .f est dérivable en zo si et seulement si
f est différentielle en (xo, Yo) E fi, la différent~lle ::_n (xo, Yo) étant une
similitude directe. (Voir en 13.66 les notations f et m.
Supposons d'abord l'existence de f'(zo) = À+ iµ avec À etµ réels.
C'est qu'il existe une fonction e : h ...-+- e( h) = e1 ( h) + ie2 ( h) qui tend vers
0 lorsque h tend vers 0 dans C, et telle que
f(zo + h) - f(zo) = (..\ + iµ)h + he(h),
(e1 et e2 à valeurs réelles).
En posant h = u + iv, et en prenant parties réelles et imaginaires, on
a:
a(xo+iyo+u+iv)-a(xo+iyo) = Àu-µv+ue1(u+iv)-ve2(u+iv)
.B(xo+iyo+u+iv)-,B(xo+iyo) = µu+..\v+ve1(u+iv)+ue2(u+iv).
soit encore, en termes d'applications den dans IR, (voir 13.66),
a(xo + u, Yo + v) - a(xo, Yo) = Àu - µv + uêi(u,v) - ve2(u, v)
P(xo + u, Yo + v) - P(xo, Yo) = µu + ÀV + ve1(u, v) + ue2(u, v).
Comme ue1 ( u, V )-ve2 ( U, V) et ve1 ( U, V )+ue2 ( U, V) sont 0 ( JU2+V2),
(si on pose u = p cos (J, v = p sin (J, ces expressions contiennent p en
facteur de quelque chose qui tend ,!ers 0 si p tend vers 0), les relations
écrites prouvent que l'application f est différentiable, la matrice jacobienne (voir définition 16.36) étant ( ~ -: ) , donc celle d'une similitude
dire~. Réciproquement, si df(xo, Yo) est une similitude directe, on remonte les calculs pour obtenir l'existence de f'(zo).
•
Soit alors 'Y un arc paramétré de classe C 1 , à support dans fi. C'est la
donnée d'un couple(/, g) avec l intervalle de R et g fonction de classe C 1
de I dans IR 2 : t ...-+- g(t) = (p(t),q(t)) telle que {(p(t),q(t)); t E /} C fi.
L'ensemble des p(t) +iq(t) est alors dans O. On suppose désormais que I