Séries entières
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OO
En effet, si f(z) = L anzn, pour Jzl < R, avec ao =F 0, c'est encore
n=O
OO
f(z) = ao(l + U(z)) avec U(z) = L an zn, somme d'une série entière
n=l ao
de rayon de convergence R, nulle en O.
Puis
1
1
1
1
f(z) = ao · 1 + U(z) = ao V(U(z))
+oo
avec V(t) = L(-l)ntn, de rayon de convergence 1, le Théorème 13.61
n=O
s'applique et pour Jzl assez petit ftz) = : 0 V(U(z)) est somme d'une
série entière.
7. Un peu de variable complexe
Nous allons voir dans ce paragraphe que, dans le cas des fonctions
de variable complexe, à valeurs complexes, l'analycité est beaucoup plus
simple à obtenir que dans le cas réel.
13.66. Fizons d'abord les notations
Soit S1 un ouvert de C, on notera fi= {(x, y) E IR 2 , z = x + iy E S1}
l'ouvert correspondant de IR 2 •
Si f : z"""" f(z) = a(z)+i,B(z) est une fonction de S1 dans C de parties
réelles et imaginaires a et ,8, on notera êi et {i les fonctions de fi dans IR
définies par êi(x, y) = a(x + iy) et {i(x, y) = ,B(x + iy) et f: fi~ IR 2
l'application de composantes êi et {i.
Il est clair que f : n ~ c continue équivaut à a et .B continues, donc
équivaut à êi et fi continues, soit à f continue.
Qu'en est-il de la dérivation?
DÉFINITION 13.67. - Une fonction f: S1 ~ C, (0 ouvert de C), est dite
holomorphe en zo de n si elle est dérivable en zo et holomorphe sur n si
elle est dérivable partout sur n.