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Analyse fonctionnelle
Comme f est à valeurs dans C, (ou R), complet, le théorème d'interversion des limites va s'appliquer (Théorème 13.57), et nous dire que
lim 'l/J(P) existe, ainsi que lim cp(Q), ces limites étant égales.
P~+oo
Q~+oo
+oo
Or lim 'lf;(P) = L vp(U(z))P = V(U(z)) existe, on le savait
P~+oo
O
p=
puisque, pour izl ~ TJ, IU(z)i < p < Rv, donc la série entière donnant V
converge en U(z).
Considérons
cp(Q) = lim f(P, Q) = lim (t (t VpCq,pZq)) .
P~+oo
P~+oo
0
0
q= p=
p
Si p > q, Cq,p = 0, donc chaque somme L VpCq,pZq s'écrit pour
p=O
Q
P > Q, L VpCq,pZq, ce qui devient constant par rapport à P > Q, donc
p=O
la limite cp(Q) est trouvée et c'est cp(Q) = t (t Vp, Cq,p) zq.
q=O p=O
Q
Q
Si on pose Wq = L VpCq,p, on a donc cp( Q) = L WqZq et la série
p=O
q=O
des WqZq converge pour lzl ~ TJ, (c'est l'existence de lim cp(Q)), et sa
Q~+oo
+oo
somme vaut V(U(z)) : on a bien V(U(z)) = L WqZq pour lzl < T/ : la
q=O
fonction V o U est bien, localement en 0, somme d'une série entière. •
REMARQUE 13.64. -Si Rv = +oo, quelque soit izl +oo
IU(z)i ~ L !uni izln = p, avec p < Rv, donc la série entière donnant
n=O
Vo U converge pour izl ÂPPLICATION 13.65. - Si f(z) est la fonction somme d'une série entière de
rayon de convergence R > 0, telle que f(O) -:/:- 0, pour izl assez petit la
fonction 1 / f est somme d'une série entière.