Séries entières
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avec
Q
Q
+oo
L Cq,pZq ~ L 'Yq,pT/q ~ L 'Yq,pT/q
q=O
q=O
q=O
(nombres~ 0) or, vu la définition des 'Yq,p, le majorant c'est (f Jun IT/n) P
n=O
soit (g(T/))P avec 0 ~ g(T/) ~p.
Q
La série de fonction de terme général ap,Q(z) = Vp L Cq,pzq admet
q=O
donc, pour JzJ ~ f/, la série numérique majorante des JvpJpP (on a
Jap,Q(z)J ~ JvpJpP), d'où une convergence dominée uniformément en Q,
et une convergence de
+oo
~ apQ(z) = lim f(P,Q) = cp(Q)
L....,,
'
P-++oo
p=O
uniformément en Q.
•
13.63. De'UZième étape
Il y a convergence, (simple en PJ, des (f(·,Q))QEN vers une fonction
' l/J : Ni---+ C, (ou R), si Q tend vers l'infini.
En effet, pour P fixé, f(P, Q) = t Vp (t Cq,pzq) avec, par
p=O
q=O
Q
définition des Cq,p. L Cq,pZq somme partielle de rang Q de la série entière
q=O
de somme (U(z))P donc
Q
lim L Cq,pZq = (U(z))P
Q-++oo q=O
existe, et une somme de P + 1 limites, (p variant de 0 à P) existe aussi,
p
donc ,,P(P) = L vp(U(z))P = lim f(P, Q) existe.
•
p=O
Q-++oo