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Analyse fonctionnelle
l'inégalité triangulaire et l'hypothèse de récurrence donnent le résultat.
De plus uo = 0 donc U(z) = z(u1 + u2z + ... ) d'où (U(z))P sera du
type zP (série entière), donc les Cq,p et les 'Yq,p sont nuls si q < p. Comme
+oo
la fonction g : z ..-t L lunlzn est nulle en 0, continue, Vp > 0, 377 > 0
n=O
+oo
tel que L lunl11n ~ p, d'où (lzl ~ 17:::} lg(z)I ~ p).
n=O
On fixe p < Rv, pour le 17 associé, pour lzl ~ 17 on aura
+oo
lu(z)I ~ L lunl11n ~ p, donc la série de terme général vp(U(z))P est
n=O
une série de fonctions convergentes et on a
p
V(U(z)) = lim L vp(U(z))P
P-++oo 0 ·
p=
= lim (t Vp lim (t Cq,pZq) )
P-++oo
Q-++oo
p=O
q=O
et on se trouve devant une interversion de limites.
On pose
p Q
f(P,Q) = L L VpCq,pZq
p=Oq=O
pour lzl ~ 17, 17 associé à p, d'où f de N x N dans C complet, avec N muni
du filtre de Frechet.
13.62. Première étape
Il y a convergence uniforme en Q des (f(P, ·))PEN vers r.p: Ni---+ C
(ou R si tout est réel) que nous allons définir.
En effet
f(P, Q) = t Vp (t Cq,pZq)
p=O
q=O