Séries entières
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Mais avec r' tel que lx1 -xol < r' < r < R, on a r-lx1 -xol ;;?.: r-r 1 ,
et pour tout x1 vérifiant lx1 - xol < r 1 , (r 1 assez petit pour que x1 E J),
on a finalement
avec t = - 1 -,, d'où la condition cherchée.
r-r
•
Nous verrons au paragraphe suivant que, dans le cas complexe, il n'y
a pas de condition aussi pénible. Mais auparavant, il reste à substituer
une série entière dans une autre.
THÉORÈME 13.61. - Soit la fonction somme U d'une série entière de terme
général UnZn, de rayon de convergence Ru > 0, et la fonction somme V
d'une série entière de te~e général VnZn de rayon de convergence Rii > O.
Si uo = 0, (soit U(O) = 0), il existe R > 0 tel que pour lzl < R la fonction
V o U soit somme d'une série entière.
Le théorème 13.61 s'applique, que tout soit réel ou complexe. Pour
lzl < Ru,, la série des UnZn converge absolument, ainsi que la série des
lunlzn, ce qui permet, (produit de séries absolument convergentes) de dire
que pour tout p de N*, (~ UnZn) P et (~ lun lzn) P sont des séries
entières en z.
Posons
(
OO
)p OO
L UnZn = L Cq,pZq et
n=O
q=O
Les règles de calcul des coefficients d'une série produit permettent de
justifier, par récurrence sur p, que lcq,pl ~ 'Yq,p, pour p;;?.: 1 et q;;?.: O. En
effet, on a:
puis si pour p on a les lcq,pl ~ 'Yq,p. comme on aura
q
q
Cq,p+l = L Cn,pCq-n,1 et 'Yq,p+l = L 'Yn,p'Yq-n,l
n=O
n=O