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Analyse fonctionnelle
Si la condition est réalisée, par Taylor Lagrange d'ordre n entre xo et
x EV, le reste d'ordre n prend la forme:
n j(k}( )(
)k
(
)n+l
f(x) _ L xo X - xo = x - xo J(n+l)(~)
k=O
k!
(n + 1)!
ce qui se majore en module par Mlt(x - xo)ln+l, et ce qui prouve que
1
pour lx - xol < t' la série de Taylor de f converge effectivement vers f.
La condition est nécessaire, car si f est analytique sur I, elle est
+oo
développableensérieentièreenxo E J,etsionaf(x) = L an(x-xo)n,
n=O
pour x E I tel que lx - xo 1 < R, en reprenant le calcul du Théorème 13.59
pour x1 de I vérifiant lx1 - xol < R, et pour x tel que
lx - x1I = r - lx1 - xol, avec r < R en posant encore
si q ~ p et 0 sinon, on obtient
puis
d'où
puisque lx - x1I = r - lx1 - xol.