Séries entières
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Or
OO
q
L up,q = L aqq(z1 - zo)q-P(z - z1)P = aq(z - z1 + z1 - zo)q
p=O
p=O
= aq(z - zo)q
donc
00(00) OO
~ ~ up,q = ~ aq(z - zo)q = S(z)
pour lz - zol < R; alors que pour p fixé,
+oo (+oo )
oo S(p)(z )
donc L L Up,q existe, c'est L ! 1 (z-z1)P, ce qui prouve la
p=O q=O
p=O
p
convergence de la série de Taylor de Sen z1 pour lz - z11 < R - lzo - z11
d'où son rayon de convergence Ri est bien~ R - lzo - z1I, mais ce qui
donne aussi l'égalité annoncée :
~ 3(P)(z1)
S(z) = L.,,
1
(z - z1)P
0
p.
p=
pour z tel que lz - zol < R et lz - z1I < R- lz1 - zol•
THÉORÈME 13.60. - Une fonction f de classe C 00 sur un intervalle ouvert
Ide Rest analytique sur I si et seulement si, Vxo E J, 3V voisinage de
xo, V C I, et deux nombres > 0, M et t, tels que Vx E V,
Vp EN, l~!f(p)(x)I ~ MtP.