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Analyse fonctionnelle
La deuxième précision n'est pas ridicule puisqu'on a vu, (exemple
13.27), qu'une série de Taylor peut converger vers autre chose que la
fonction.
On a, pour z1 tel que
Soit z tel que lz-z1I < R- lz1 - zol, on pose lz-z1I = r- lz1 -zol
avecr < R.
IS(p)(z1)l lz - z1IP
On va prouver que la série des
1
converge, en
p.
prouvant qu'une série majorante converge. Or, sous réserve d'existence,
ona
1
sP(z1)(z - z1)P 1 ~ "
q!
1 11 -
1q-pl -
IP
1
~ L.,, '( _ )' aq z1 zo
z z1 .
p.
:::i. p. q p.
q.,.p
On définit la famille des (up,q)(p,q}EN2 par:
-
q!
( -
)q-p( - )P
Up,q - p!(q _ p)!aq z1 zo
z z1
si q ~ p, up,q = 0 si q < p.
Si on prouve la convergence en module dans un ordre de sommation,
on aura convergence dans les deux sens de sommations et égalité des
sommes (Théorème 13.58).
Or pour q fixé,
OO
q
1
L lup,ql = L ' ( q~ )' laqJ Jz1 - zolq-plz - z1JP
0
O p. q p.
p=
p=
avec lz - z1J = r - Jz1 - zol, c'est donc
OO
q
L lup,ql = L CfJaql lz1 - zolq-p(r - lz1 - zol)P
p=O
p=O
= laql(lz1 - zol + r - lz1 - zol)q = laqlrq
+oo
puis L Jaqlrq converge, (r < R), donc le Théorème 13.58 s'applique.
q=O