Séries entières
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Autres applications : en fait les théorèmes généraux: sur la convergence
uniforme sont souvent des cas particuliers d'application du théorème
d'interversion des limites.
Par exemple. Soit des fonctions (/n)nEN continues qui convergent
uniformément vers f. On prend A = N, B filtre de Frechet, et C filtre
des voisinages de xo.
Les f n convergent uniformément vers f suivant B; lim f n ( x) =
c
fn(xo) : on note 1/;(n) cette limite, on a lim 1/;(n) = lim fn(xo) =
B
n-++oo
f(xo).
Le Théorème 13.56 s'applique et nous dit que lira f = f(xo) : c'est la
c
continuité de f en xo.
•
De même, si cette fois on prend des fonctions Darboux intégrables de
[a, b] dans IR qui convergent uniformément vers f, et si on introduit le
filtre C dont les parties C(e) sont formées des subdivisions d: xo =a <
x1 < ... < Xn = b de pas ~ e, (je vous laisse vérifier qu'il s'agit d'une
base de filtre), on a, toujours avec B filtre de Frechet sur N,-lim f n = f,
B
uniformément en x E [a,b], limfn = 1b fn existe, on note 1/;(n) cette
C
a
limite, on est à valeurs dans IR complet, donc le Théorème 13.57 donne
lim 1/;(n) existe et c'est lim f c'est-à-dire 1b f, ce qui se traduit encore
n-++oo
C
a
par f intégrable, (au sens de Darboux) sur [a, b] et 1b f = lira 1b fn·
a
n-++oo a •
Je vais en fait utiliser ce théorème d'interversion des limites pour
justifier deux choses. D'abord le fait que la fonction somme d'une série
entière est analytique, puis donner un critère d'analycité; et ensuite pour
substituer une série entière à la variable d'une autre série entière.
OO
THÉORÈME 13.59. - Soit la fonction somme S ( z) = L an ( z - zo) n d'une
n=O
série entière de rayon de convergence R > O. Elle est analytique sur le
disque ouvert Do(zo, R), et la série de Taylor de S en z1 de ce disque
ouvert à un rayon de convergence Ri ~ R - iz1 - zol, et une fonction
somme égale à S(z) sur Do(zo, R) n Do(z1, R - lzo - z11).