168 Analyse fonctionnelle
on associe Po tel que 'Vp ~Po,
no
p
L
Xi- LXi,j
i=O
j=O
Mais alors, 'Vp ~ po, et 'Vn EN on va avoir llcp(n) - f(p, n)ll ~ ê car
soit n ~ no, et alors
~ (x;-ÉoXiJ)
n
p
JJcp(n) - f(p,n)JI =
~L: x·-L:x· ·
i
i,3
i=O
j=O
no
p
~L: x·-L:x· · ~ :.
i
i,3 """2
i=O
j=O
puisque p ~ Po ; alors que si n ~ no,
no
p
n
JJcp(n) - f(p,n)JI ~ L
L:
ê
ê
x·-L:x· · +
Si~ 2 + 2'
i
i,3
i=O
j=O
i=no+l
la convergence des (f(p, ·))pEN vers

Il y a convergence simple, en p, des (f ( ·, n) )nEN vers une fonction 'If;
car on peut, dans une somme finie, intervertir les sommations et écrire
OO
et comme chaque Yj = L Xi,j existe, on peut passer à la limite, pour p
i=O
fixé, quand n tend vers l'infini et écrire
p
'l/;(p)= lim f(p,n)='°'Yi·
n->+oo
L..,,
j=O
Le Théorème 13.57 s'applique et nous dit alors que lim 'l/;(p) existe
p->+oo
OO
OO
et c'est lim n->+oo
L..,,
L..,,
i=O
j=O
obtenir.
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