Séries entières
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1) les fonctions f(p, ·) : n ~ f(p, n) ont une limite suivant B
uniformément en n E N, soit cp cette limite;
2) les fonctions f(-, n) : p ~ f(p, n) ont une limite suivant B, simple
en p, noté 1/J.
En effet /(p, n) ~ t. (t. Xij) , aveo la .me de• ( Xij) ;eN oonveroo
gente absolument, et sa somme Xi telle que llxill ~ Bi = L llxi,jll·
j=O
n
On a lim f(p,n) = LXi, somme finie de limites, et si on pose
p->+oo
i=O
n
cp(n) = LXi, la convergence de f(p,n) vers cp(n) est uniforme en n.
i=O
En effet
l'(n) - f (p, n) ~ t. ( x; - t. X;J)
n ( OO
)
= L L Xi,j .
i=O j=p+l
+oc
+oc
Or
L Xi,j
j=p+l
~ L llxi,jll = Bi et L Bi converge donc Ve > 0,
j=O
OO
3no, L Bi ~ ~· mais alors Vn ~ no, Vp on a
i=no+l
n
( +oc
)
"""'
"""' X . .
L...J
L...J i,3
i=no+l j=p+l
n
"""' B· ~ :_
L...J
i-<:2
i=no+l
~
p
ê
alors que L Xi - L Xi,j peut être rendu ~ ' 2 pour p assez grand
i=O
j=O
puisqu'on a une somme finie de (no+ 1) limites nulles. Au même ê > 0,