166 Analyse fonctionnelle
Il suffit de justifier l'existence de lim 1/J puisqu'alors le Théorème 13.56
B
s'appliquera et donnera le résultat.
Or 'Ve> 0, 3B E B, "i/x E E, 'V(>..,µ) E B 2 , d(f(>.., x), cp(x)) < e/2 et
d(f(µ, x), cp(x)) < e/2 d'où a fortiori d(f(µ, x), f(>.., x)) < e.
On fixe À et µ dans ce B, on sait que limf(µ,x) = 'l/J(µ) et
c
limf(>..,x) = 1/;(>..), or la distance de F x F dans ~ est continue
c
donc en passant à la limite suivant C, (2 limites simples) on obtient
d( 1/J (µ), 1/J (À)) ~ e et finalement
'Ve> 0, 3B E B, 'V(>.,µ) E B 2 , d('l/J(>..),'l/J(µ)) ~ e
le critère de Cauchy est vérifié dans F métrique complet, on a donc lim 1/J
B
qui existe et le Théorème 13.56 s'applique.
Applications. Revenons sur notre exemple d'une suite double.
THÉORÈME 13.58. - Soit une famille (xn,p)(n,p)EN2 d'éléments de F
espace vectoriel normé complet, telle que pour chaque n fixé, la série Sn =
OO
+oo
L 1lxn,pl1 converge et que la série des Sn converge. Afars Xn = L Xn,p
p=O
p=O
+oo
existe, ainsi que Yp = L Xn,p, ces séries étant absolument convergentes
n=O
OO
OO
ainsi que les séries des Xn et des Yp, enfin on a L Xn = L Yp·
n=O
p=O
Plus schématiquement, si cela converge dans un sens en norme, cela
converge absolument dans les deux sens et les sommes sont égales.
OO
On a vu, après l'exemple 13.55 que ap = L llxn,pll existe, et que les
.
n=O
séries de termes généraux Xn et Yp sont absolument convergentes. Notre
OO
OO
problème est de justifier l'égalité L Xn = L Yp·
n=O
p=O
Pour cela on considère A = E = N muni du filtre de Frechet B et on
n p
définit f: A x E f---+ F, par f(p, n) = L L Xi,j• et, pour appliquer le
i=Oj=O
Théorème 13.57 d'interversion des limites, on va prouver que