Séries entières
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C'est là que nous allons établir un résultat puissant qui règlera cette
question, mais bien d'autres également.
THÉORÈME 13.56. - Soient deux ensembles A et E munis de filtres (ou de
bases de filtres) B et C et f : A X E f---+ F une application, avec F espace
métrique.
Si la famille des (f(>.,·)hEA• (!(>.,·) : x ~ f(>.,x) de E dans
F), admet une limite cp, (application de E dans F), pour le filtre B,
uniformément en x E E; et si la famille des (f(·,x))xEE admet pour
le filtre C une limite 1/J, (application de A dans F), alors si lim 1/J = l
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existe, on a lim cp = l aussi.
c
On veut prouver que d(l, cp(x)) tend vers 0 suivant C, or lest limite
des 1/;(>.) et cp(x) des f(>..,x), uniformément en x. On va d'abord écrire:
d(l, cp(x)) ~ d(l, 'lj;(>..)) + d( 'lj;(>..), f (>., x)) + d(f (>., x ), cp(x) ).
Pour maîtriser le d('lj;(>..),f(>.,x)) il faut avoir fixé>.., uniformément
en x. Or Ve> 0, comme lim'l/J =let limf(>., ·) = cp, uniformément en
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e
x, 3B1 et B2 dans B tels que V>. E B1, d('lj;(>.), l) ~ 3 , et V>.. E B2 et
Vx E E, d(f(>..,x), cp(x)) ~ e/3, donc 3B3 C B1 n B2 tel que V>.. E B3 et
Vx E Eon ait
e
d(l, cp(x)) ~ 2 3 + d('lj;(>..), f(>., x)).
On fixe >.. dans B3 non vide, la traduction de lim f(>., x) = 1/;(>.) se
c
traduit par : 3C E C, Vx E C, d(f(>., x), 1/J(>..)) ~ e/3 et finalement,
Ve> 0, 3C E C, Vx E C, d(l, cp(x)) ~ e : on a bien lim cp = l.
•
c
En fait, si (F, d) est complet, (et très souvent on évolue dans des
espaces complets), la dernière hypothèse est inutile, elle est conséquence
des deux premières. On a donc :
THÉORÈME 13.57. - Soient deux ensembles A et E munis de filtres ou de
bases de filtres B et C et f : A x E f---+ F une application, avec F métrique
complet. Si les (! ( >., ·)) ÀEA ont une limite cp uniformément en x E E, pour
le filtre B, et si les (!( ·, x) )xEE ont une limite 1/J pour le filtre C, alors lim 1/J
.
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et lim cp existent et elles sont égales.
c