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Analyse fonctionnelle
pO
Soit alors Po et no fixés. On a L an,p ~ Sn donc
p=O
no (p0 )
E :;an,p
PO (no )
soit encore L L an,p ~ S.
p=O n=O
no
Mais pour PO fixé, comme chaque lim L an p = ap existe, on
no-++oo n=O '
Po
peut passer à la limite (somme finie de limites) et obtenir: L ap ~S.
p=O
La suite croissante des sommes partielles de la série des ap est
majorée, donc cette série converge et sa somme A vérifie l'inégalité A ~ S.
Mais alors en inversant les rôles des sommations, maintenant que les
OO
ap existent ainsi que A = L ap, on obtient S ~ A d'où l'égalité. •
p=O
Soit maintenant une famille (xn,p)(n,p)EN2 dans un Banach E telle
que chaque série des (xn,p)pEN soit absolument convergente, et qu'avec
+oo
Sn= L llxn,pll, la série S des Sn converge.
p=O
+oo
Alors, chaque ap = L llxn,pll convergera ainsi que la série des ap.
n=O
OO
A fortiori, chaque Xn = L Xn,p existera, avec l IXn 11 ~ Sn donc
p=O
+oo
+oo
X = L Xn converge; mais aussi chaque Yp = L Xn,p converge, avec
n=O
n=O
+oo
llYp 11 ~ ap donc Y = L Yp existe mais... on est coincé car rien ne
p=O
justifie, pour l'instant l'égalité X = Y.