Séries entières
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plus h(u) = f(u) o g(u) car cette dernière égalité provient de ce que
Cn = aobn + aibn-1 + ... + anbo·
OO
Par exemple, si (1 + x) 1 1 2 = L anxn, on aura
n=O
OO
(idE + u) 1 1 2 = v = Lan un
n=O
est un endomorphisme tel que v 2 = idE+u, à condition ici que lllulll < 1,
ou que ... u soit nilpotent! Il y a là matière à de nombreux développements.
6. Théorème d'interversion des limites, retour sur l'analycité
ExEMPLE 13.55. - Soit une famille ( an,p) {n,p)EN2 de nombres réels positifs
OO
tels que chaque Sn = L an,p converge, puis que la série des Sn converge;
p=O
OO
alors chaque O:p = L an,p existe, la série des O:p converge et
n=O
OO
OO
A= l:o:p=B= l:sn.
p=O
n=O
En quoi a-t-on interverti des limites? En ce qu'on écrit
( q (
r
) )
( r (
q
) )
lim
lim
an
= lim
Hm
an
q-++oo L r-++oo L ,p r-++oo L q-++oo L ,p
p=O
n=O
n=O
p=O
La justification est liée à l'rodre sur R :
\t(n,p) E N 2 on a 0 ~ an,p ~ Sn. la convergence de la série des Sn
donne celle de la série des (an,p)nEN d'où l'existence des O:p.