162
Analyse fonctionnelle
z = x + iy on a e-y+i:z: = Z1 ou Z2 d'où e-Y = IZ1I, (ou IZ2i) et
x = Arg (Z1) (27r), ou Arg (Z2) (27r).
.
cosz
chz
Voyons par exemple où on peut défimr cotg z = - . - ou coth z = -h .
smz
s z
eiz _ e-iz
On aura sinz =
2 i
= 0 # (eiz) 2 = 1#eiz=1 ou -1.
Avec z = x + iy,
ei:z:-y = 1#e-Y=1 et x = 2k7r,
ei:z:-y = -1#e-Y=1etx=7r + 2k7r,
donc sinz = 0 # z = k1r, k El.
Sur C - { k7r; k E l} on peut définir cotg z = c~ z.
smz
La définition de tg z, exige cos z =F 0, donc eiz =F ±i, d'où z =F i + k1r.
~nfin th z serait défini pour ch z =F 0 soit ez =F ±i, or ez = i =
e:z:+iy conduit à x = 0 et y = 7r/2(27r) alors que ez = -i donne
z = i ( -i + 2k7r), c'est donc pour z =F i ( i + k1r) que l'on définit th z,
et pour z =F ik1r que l'on définirait coth z.
13.54. Dernière remarque : porte ouverte vers les séries formelles
L'utilisation de la suite des coefficients du développement en série
entière de e:z:, cos x, sin x ... , pour x réel, a permis de définir des fonctions
de la variable complexe : ez, cos z, sin z ... qui avaient des propriétés
analogues (ez+z' = ezez'), parcequ'il y avait convergence absolue, que
zz' = z' z, et que les vérifications portaient sur les coefficients de ces
séries entières.
Soit alors E un Banach, u un endomorphisme continu de E et trois
fonctions développables en série entière :
n~O
n~O
n~O
qui vérifient, pour lxl < inf (Ra, Rb, Re), (leurs rayons de convergence)
h(x) = f(x)g(x) par exemple.
On aura, pour lllulll < inf (Ra, Rb, Re) convergence des séries d'endomorphismes f(u) = L anun, g(u) = L bnun et h(u) = L enun,
n~O
n~O
n~O
(convergence absolue dans Cc(E, E) complet, donc convergence), et de
Analyse fonctionnelle
z = x + iy on a e-y+i:z: = Z1 ou Z2 d'où e-Y = IZ1I, (ou IZ2i) et
x = Arg (Z1) (27r), ou Arg (Z2) (27r).
.
cosz
chz
Voyons par exemple où on peut défimr cotg z = - . - ou coth z = -h .
smz
s z
eiz _ e-iz
On aura sinz =
2 i
= 0 # (eiz) 2 = 1#eiz=1 ou -1.
Avec z = x + iy,
ei:z:-y = 1#e-Y=1 et x = 2k7r,
ei:z:-y = -1#e-Y=1etx=7r + 2k7r,
donc sinz = 0 # z = k1r, k El.
Sur C - { k7r; k E l} on peut définir cotg z = c~ z.
smz
La définition de tg z, exige cos z =F 0, donc eiz =F ±i, d'où z =F i + k1r.
~nfin th z serait défini pour ch z =F 0 soit ez =F ±i, or ez = i =
e:z:+iy conduit à x = 0 et y = 7r/2(27r) alors que ez = -i donne
z = i ( -i + 2k7r), c'est donc pour z =F i ( i + k1r) que l'on définit th z,
et pour z =F ik1r que l'on définirait coth z.
13.54. Dernière remarque : porte ouverte vers les séries formelles
L'utilisation de la suite des coefficients du développement en série
entière de e:z:, cos x, sin x ... , pour x réel, a permis de définir des fonctions
de la variable complexe : ez, cos z, sin z ... qui avaient des propriétés
analogues (ez+z' = ezez'), parcequ'il y avait convergence absolue, que
zz' = z' z, et que les vérifications portaient sur les coefficients de ces
séries entières.
Soit alors E un Banach, u un endomorphisme continu de E et trois
fonctions développables en série entière :
n~O
n~O
n~O
qui vérifient, pour lxl < inf (Ra, Rb, Re), (leurs rayons de convergence)
h(x) = f(x)g(x) par exemple.
On aura, pour lllulll < inf (Ra, Rb, Re) convergence des séries d'endomorphismes f(u) = L anun, g(u) = L bnun et h(u) = L enun,
n~O
n~O
n~O
(convergence absolue dans Cc(E, E) complet, donc convergence), et de