Séries entières
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C'est donc que la fonction cosinus s'annule. Comme elle est > 0 sur
[0,a] avec a> 0, si on note w = inf{y > 0, cosy= O} on aura w > 0,
cosw = 0 et cost > 0 sur [O,w[, donc sinus croissant strictement sur
[O,w] de 0 à 1, (sin 2 w = 1 - cos 2 w = 1::::? sinw = ±1 or sinw > 0).
Mais alors sin t > 0 sur JO, w], d'où cosinus décroissante sur [O, w]. Au
fait, w c'est 7r /2 bien sûr.
Il en résulte que t -...+ (cos t, sin t) applique bijectivement, (stricte
monotonie), [O, w] sur le quart de cercle ensemble des ( u, v) avec
u 2 + v 2 = 1, 0 :i:;;; u :i:;;; 1, 0 :i:;;; v :i:;;; 1.
Puis sis E [w, 2w], t = s - w E [O,w], or
eis = eiweit = (cosw + i sinw)(cost + i sin t) = i(cos t + i sin t)
= -sin t + i cos t.
donc si s croit de w à 2w, on a :
cos s = -sin ( s - w) décroit de 0 à - 1
sins =cos (s - w)
décroit de 1 à 0
et s-...+ (coss, sins) applique bijectivement [w,2w] sur le quart de cercle
ensemble des (u, v) avec u 2 + v 2 = 1, -1:i:;;;u:i:;;;O;0 :i:;;; v :i:;;; 1.
Pour s E [2w, 4w], on a eis = e 2 iweit avec t = s - 2w E [O, 2w] et
(coss + i sins) = (cos2w + i sin2w)(cost + i sin t) = -(cost + i sint)
= -cost - i sint
montre que si s croit de 2w à 4w, cos s = -cos t croit de -1 à 1 et
sin s = -sin t décroit de 0 à -1 puis croit de -1 à 0 : on décrit le demicercle symétrique du précédent par rapport à l'axe des abscisses.
On a enfin e4iw = 1, et il n'existe aucun réel t E]O, 4w[ tel que eit = 1:
4w engendre le noyau du morphisme t -...+ eit. On peut, par ce procédé,
donner une existence légale à 7r = 2w.
•
Je suis certain que vous vous sentez mieux, et d'attaque pour aller
considérer le théorème d'interversion des limites, et un peu de fonctions
~olomorphes. Mais avant quelques remarques encore sur les fonctions
usuelles de variable complexe.
L'utilisation des formules de définition permet de résoudre des questions du type cos z = a, a E C, (a = 1515 par exemple).
.
.
Z + 1/Z
.
En posant Z = eiz, on doit résoudre
2
= a soit Z 2 - 2aZ + 1 =
0, équation ayant sur C deux racines non nulles Z1 et Z2, puis avec
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C'est donc que la fonction cosinus s'annule. Comme elle est > 0 sur
[0,a] avec a> 0, si on note w = inf{y > 0, cosy= O} on aura w > 0,
cosw = 0 et cost > 0 sur [O,w[, donc sinus croissant strictement sur
[O,w] de 0 à 1, (sin 2 w = 1 - cos 2 w = 1::::? sinw = ±1 or sinw > 0).
Mais alors sin t > 0 sur JO, w], d'où cosinus décroissante sur [O, w]. Au
fait, w c'est 7r /2 bien sûr.
Il en résulte que t -...+ (cos t, sin t) applique bijectivement, (stricte
monotonie), [O, w] sur le quart de cercle ensemble des ( u, v) avec
u 2 + v 2 = 1, 0 :i:;;; u :i:;;; 1, 0 :i:;;; v :i:;;; 1.
Puis sis E [w, 2w], t = s - w E [O,w], or
eis = eiweit = (cosw + i sinw)(cost + i sin t) = i(cos t + i sin t)
= -sin t + i cos t.
donc si s croit de w à 2w, on a :
cos s = -sin ( s - w) décroit de 0 à - 1
sins =cos (s - w)
décroit de 1 à 0
et s-...+ (coss, sins) applique bijectivement [w,2w] sur le quart de cercle
ensemble des (u, v) avec u 2 + v 2 = 1, -1:i:;;;u:i:;;;O;0 :i:;;; v :i:;;; 1.
Pour s E [2w, 4w], on a eis = e 2 iweit avec t = s - 2w E [O, 2w] et
(coss + i sins) = (cos2w + i sin2w)(cost + i sin t) = -(cost + i sint)
= -cost - i sint
montre que si s croit de 2w à 4w, cos s = -cos t croit de -1 à 1 et
sin s = -sin t décroit de 0 à -1 puis croit de -1 à 0 : on décrit le demicercle symétrique du précédent par rapport à l'axe des abscisses.
On a enfin e4iw = 1, et il n'existe aucun réel t E]O, 4w[ tel que eit = 1:
4w engendre le noyau du morphisme t -...+ eit. On peut, par ce procédé,
donner une existence légale à 7r = 2w.
•
Je suis certain que vous vous sentez mieux, et d'attaque pour aller
considérer le théorème d'interversion des limites, et un peu de fonctions
~olomorphes. Mais avant quelques remarques encore sur les fonctions
usuelles de variable complexe.
L'utilisation des formules de définition permet de résoudre des questions du type cos z = a, a E C, (a = 1515 par exemple).
.
.
Z + 1/Z
.
En posant Z = eiz, on doit résoudre
2
= a soit Z 2 - 2aZ + 1 =
0, équation ayant sur C deux racines non nulles Z1 et Z2, puis avec