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Analyse fonctionnelle
cp(y)cp(y 1 ), (Théorème 13.46.) : on a bien le morphisme annoncé, surjectif
puisque, si a et b réels sont tels que a 2 +b 2 = 1, il existe(} tel que a= cos(}
et b =sin(}, (une bonne utilisation d'ArcsinouArccos ... ) d'où cp(O) = a+ib,
enfin (y E Kercp) ~(cosy= 1 et sin y= 0) ~(y= 2k7r, k El).
•
On peut également donner une existence légale à 11", ce chenapan que
des générations de mathématiciens ont cherché à maîtriser, (pensez aux
questions de quadrature du cercle!).
Faisons table rase des connaissances trigonométriques usuelles, et
imaginons rencontrées pour la première fois les fonctions cosinus et sinus,
pour t réel, sous la forme des séries entières
oo
t2n
+oo
t2n+l
cost = L:)-l)n( 2 )' et sint = L(-l)n ( 2
)I"
n=O
n.
n=O
n+l.
Les règles de dérivation des séries entières (Théorème 13.21), donnent
(cost)' = -sint et (sint)' = cost.
On a aussi la relation cos 2 t + sin 2 t = 1, car elle provient de z ~ ez
morphisme de (C, +) dans (C*, x ). On peut alors justifier le :
THÉORÈME 13.53. - Oui 11" existe, je l'ai vu! Ou si vous préférez, il existe
un réel, 271", tel que l'application y ~ cos y + i sin y soit un morphisme de
noyau 271" l de IR additif sur le groupe multiplicatif des nombres complexes
de module 1.
En effet, supposons que la fonction cosinus, qui vaut 1 en 0, donc
qui par continuité reste > 0 sur un segment (0, a], ne s'annule pas sur
[0,+oo[.
La fonction sinus est alors strictement croissante car (sin t)' = cos t >
0, donc sin a > sin 0 = 0 et pour tout y > a, sin t > sin a sur [a, y], donc
LY sintdt ~ LY (sina)dt =(y- a)sina.
Mais c'est aussi LY -(cost)'dt = cosa - cosy~ (y - a)sina, d'où
l'on tire
.
cosy
pwsque cos y reste > 0, donc - - . - < O.
sma
cos a
Mais il est impossible que tout y réel > a reste ~ a + -.-. sma