Séries entières
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Justifions par exemple la première : ch (z + z') =
alors que
chz chz' + shz shz' = ~ [ 1 +'
+'
'
'
= -[ez z + e-z z + ez-z + e-z-z
4
+ z+z' -z+z' z-z' + -z-z']
e
-e
-e
e
1
+ '
'
= 4 · 2(ez z + e-z-z ) d'où l'égalité.
•
On
d
A
h .
.
sh iz d' 1 ,
constate e meme que cos z = c iz et sm z = - . -
où on
eiz + e-iz
. i
.
déduit les relations cos z =
2
et sin z =
eiz _ e-iz
cos 2 z + sin 2 z = 1, puis les formules trigonométriques:
13.50.
cos(z + z') = cosz cosz' -sinz sinz'
cos (z - z') = cos z cos z' +sin z sin z'
sin (z + z') = sin z cos z' +cos z sin z'
sin (z - z') = sin z cos z 1 - cos z sin z'
eiz + e-iz
que l'on pourrait rejusti:fier à partir de cos z =
2
et
eiz _ eiz
sinz=--2i
2i
On constate également, que si z = x + iy avec x et y réels, on a
13.51.
d'où l'on tire: module de ez = eX; Argument de ez = y(21l'),
Re (ez) =ex cosy et lm (ez) =ex sin y.
puis
Les formules eiz = cos z + i sin z et e-iz = cos z - i sin z sont
évidemment valables pour tout z E C.
THÉORÈME 13.52. - L'application cp : y -v+ eiy est un morphisme de R
additif sur le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1, de
noyau Ker cp = 211' l.
On suppose ici, les propriétés usuelles des fonctions trigonométriques
réelles connues. Alors leiYI = e 0 = 1, cp(y +y') = ei(y+y') = eiYeiY' =