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Analyse fonctionnelle
_ ~ .!_ ~œ P 'n-p _ ~ (z+z'r
- L.,, n! L.,, nZ z
- L.,,
n!
n=O
p=O
n=O
= E(z +z').
•
REMARQUE 13.4 7. - Si z et z' sont dans une algèbre commutative
complète, ou plus simplement, si dans une algèbre complète (en tant
qu'espace vectoriel normé) z et z 1 commutent et si la norme d'algèbre
vérifie llznll ~ llzlln, c'est le cas de la norme d'application linéaire continue (voir le Théorème 6.23), le même raisonnement s'applique et peroo An
met par exemple de définir eA = L - 1 si A est une matrice carrée,
0 n.
n=
ou si A E .Cc(E, E), puis, si A et B commutent, d'établir l'égalité
eA+B = eA 0 eB.
•
Retour à la variable complexe.
1
On a ez =/:- 0, e-z = z' puisque ez-z = e 0 = 1 = eze-z.
e
Par analogie avec le cas réel, on définit les fonctions ch, sh, cos et sin,
sur C, par les formules :
ez + e-z oo z2n
ez _ e-z
00
z2n+l
13.48. chz=
2
= ];( 2 n)!; shz=
2
= ];( 2 n+l)!
oo (-l)nz2n
.
oo (-lrz2n+l
cos z =]; ( 2 n)! et sm z = ] ; ( 2 n + l)!
On constate alors que : ez = ch z + sh z et e-z = ch z - sh z, d'où l'on
déduit la formule ch 2 z - sh 2 z = 1, (= ez-z = eo).
On peut justifier, grâce au fait que z -v+ ez est un morphisme de (C, +)
dans ( C*, x), et en utilisant les formules de définition, les relations :
13.49.
ch (z + z') = chz chz' + shz shz'
ch (z - z') = chz chz 1 - shz shz'
sh (z + z 1 ) = shz chz' + chz shz'
sh (z - z') = shz chz' - chz shz'