Séries entières
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valable pour tout n et tout t =/:- -1, prouve que la série de terme général
(z - zor
(-l)n (
) converge, (le reste tend vers 0) et que
ZQ - Zj n
_1_ = ~ (-1r (z- zo)n
z - z·
~ (zo - z·)n+l
3
n=O
3
pour lz - zol < lzo - z;I.
Comme les séries entières se dérivent terme à terme, (Théorème
13.21), pout tout p entier, en dérivant p fois, il vient
(-l)Pp!
Loo (-l)nn(n - 1) ... (n - p + 1) (
)n-p
--""---..,... =
z - zo
(z - z ·)P+l
(zo - z ·)n+l
3
n=p
3
avec le même rayon de convergence, et, par combinaison de ces résultats,
on obtient bien f somme d'une série entière pour
lz - zol < inf {lzo - z;l;j = 1, ... , k}.
Comme f n'est pas continue en Zj, le rayon de convergence ne peut
pas dépasser cette valeur.
·
•
Passons maintenant aux fonctions de variable complexe dites usuelles.
OO
n
THÉORÈME 13.46. - La fonction E définie sur C par E( z) = L ; vérifie
n=O n.
l'identité E(z)E(z') = E(z + z') pour tout (z, z') de C 2 • On la note ez au
lieu de E(z). C'est la fonction exponentielle.
En effet la série des lzl~ et celle des lz'~I convergent, donc les séries
n.
n.
de sommes notées E(z) et E(z') sont absolument convergentes: la série
produit converge (Théorème 11.63) et on a
+oo ( n p
1 n-p )
E(z)E(z') = L
L;. ( z _ )'
0
0 p. n p.
n= p=
+oo 1 ( n
1
)
n.
P 'n-p
=Ln! L p!(n - p)!z z
n=O
p=O