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Analyse fonctionnelle
5. Fonctions élémentaires de variable complexe
On va d'une part étudier les fractions rationnelles sur le corps des
complexes, et d'autre part, à l'aide des séries entières, définir des fonctions dites usuelles, de variable complexe, les propriétés de ces fonctions
provenant de la famille des coefficients servant à définir la série entière.
Ce qui conduit à se poser la question d'une extension de ces fonctions à
autre chose que C, à des algèbres commutatives d'endomorphismes par
exemple.
THÉORÈME 13.45. - Soit une fraction rationnelle sur C, mise sous forme
irréductible/(z) = ~~;~.Si z1, ... zk sont les pôles de f, (zéros de
QJ, f est analytique sur l'ouvert n = c - { z1, ... , zk} et pour tout
zo de n, le rayon de convergence de la série de Taylor de f en zo est
inf {lzo - Zjl; j = 1, k}.
En effet, la fraction rationnelle f admet une décomposition en éléments simples du type
k ( n;
)
f(z) = E(z) + ~ L (z ~~.Y
3=1 r=l
3
où E(z) est un polynôme en z, (partie entière de la fraction rationnelle),
où nj est le degré de Zj zéro de Q, et les O!j,r étant des constantes.
p (z - zor
Si d° E = p, on a E(z) = L 1 f(n)(zo), (formule de Taylor
0
n.
n=
exacte, à l'ordre p = degré de E) : c'est une série entière convergente en
z - zo, de rayon de convergence infini.
Pour ZQ dans n, on a :
1
1
Z- Zj
Z - ZQ + ZQ - Zj
si 1 z - zo 1 < 1, l'identité
ZQ -Zj
1
1
(zo-zj) l+ z-zo'
ZQ -Zj