Séries entières
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Quelques cas particuliers
1
Q= 2'
1 ( 1) (3 2p)
a(a - 1) ... (a - p + 1) 2 -2 · · · 2 - 2
p!
-
pl
= (-l)p-11. 3 ... (2p - 3)
2Pp!
=(-l)p-11·3 ... (2p-3).
2. 4 ... 2p
donc
~ -
~
(- )p-11 . 3. 5 ... (2p - 3) p
-
V.L-r:.c-1+ 2 + ... +
1
2·4·6 ... 2p X + ... R-1.
1.
Pour a = - 2 , on est conduit à
1
_ _ ~
(- )P 1 · 3 · 5 ... (2p - 1) P
_
~ - 1 2 + ... +
1
2. 4. 6 2
X + ... ' R - 1,
y.i-r;.i;
... p
1
d'où l'on déduit les développements en série entière en 0 de ~ et
vl-x1
~qui conduisent en intégrant à ceux de Arcsinx et Argshx. On
V . L -r xtrouve
1
_
x 2
1 · 3 · 5 ... (2p - 1) 2 P
_
Jl=X2-l+ 2 + ... +
2·4·6 2
X
••• R-l
... p
et
.
1 x 3
1·3 ... (2p - 1) x 2 P+l
Arcsmx=x+- 2 - 3 + ... +
4
(
) + ... R=l;
2· ... 2p
2p+l
puis
1
_
x 2
( )P 1 · 3 · 5 ... (2p - 1) 2p
_
Jl+X2-l-2+ ... + -1
2·4·6 ... (2p) X + ... R-1
d'où
1 x 3
1·3 ... (2p - 1) x 2 P+l
Argshx = x- 23 + ... + (-l)P 2. 4 ... (2p) (2p+ 1) + .. . R = 1.