154
Analyse fonctionnelle
Si on cherche alors une série entière de rayon de convergence R non
OO
nul, S( x) = L anxn, qui soit solution de 13.43 et telle que S(O) = ao =
n=O
1, et si on en trouve une, on pourra dire que sur ]-R, R[n]-1, +oo[, S = f
grâce à l'unicité de la solution locale de 13.43, fournie par le théorème de
Cauchy Lipschitz, (corollaire 18.17).
On cherche donc a priori des (an)neN tels que
(1+ x) (t. ' "' "• )' -a t. ' "' "" ~ O
ce qui, en utilisant la propriété de dérivabilité terme à terme des séries
entières, (Théorème 13.21), conduit à
OO
OO
OO
L nanxn-i + L nanxn - a L anXn = O.
n=i
n=i
n=O
Le premier membre est une série entière, nulle, c'est que le coefficient
de chaque xP est nul, ce qui conduit à :
terme constant: ai - aao = 0,
terme de degré 1 : 2a2 + ai - aai = 0,
terme de degré p: (p + l)ap+l + pap - aap = 0,
, , ,
.
a(a - 1) ... (a - p)
doulontireap+l=
(p+l)!
ao.
Il faut alors s'assurer qu'avec ces an on a un rayon de convergence non
nul, car, pour justifier le calcul, il faut pouvoir dériver la série des anxn,
donc avoir un domaine de convergence non réduit à O.
Ici, ap+i = a - p, lim 1 ap+i 1 = 1, par la règle de d'Alembert on
ap
p + 1 p->+oo ap
sait que le rayon de convergence est 1, (les ap non nuls car a non entier).
( ) ~ a(a - 1) ... (a - p + 1)
P
Mais alors, l'expression s X = L....t
1
aox est
p=O
p.
l'expression, sur] - 1, l[, de la solution de 13.43 valant ao en x = 0, en
particulier, pour f(x) = (1 + x)'t, avec ao = 1 on peut dire que
(l + x)a = f: a(a - 1) ... 1 (a - p + 1) xP
p=O
p.
18.44.
sur] - 1, l[, le premier terme vaut 1, et on peut remarquer que pour a
entier on récupère la formule du binôme de Newton.