Séries entières 153
1 1
(-l)P-1
Donc Log2 = 1- 2 + 3 + ... + p + ... est la somme de la série
harmonique, et le domaine de convergence de la série entière Log ( 1 + x)
est] - 1, 1], celui de Log (1 - x) étant [-1, 1[.
Pour tout x E] - 1, 1[, t = x 2 E [O, l[, donc on a
1
OO
1
OO
- - = ~(-l'nx 2 n et - - = ~ x 2 n (R = 1) ce qui, par
1 + x 2
~
'
1 - x2
~
'
n=O
n=O
intégration, fournira
13.40.
00
x2n+l
Arctgx= E(-l)n( 2 n+l)' R=l
avec] - 1, 1] pour domaine de convergence, et l'égalité
13.41.
7r
00
(-l)n
4 = Arctg 1 = E (2n + 1)
(la même remarque que pour Log (1 + x) s'appliquant).
On a de même
00 x2n+l
Argthx = ~ - - , R = 1.
~2n+l
13.42. Enfin, parmi les arguments employés figure le recours à la théorie
des équations différentielles, domaine d'utilisation par excellence des
séries entières. Voyons le sur un exemple. Soit la fonction f : x ~ (1 +x )' 1<,
a ER, a non dans N, définie et de classe C 00 sur] - 1, +oo[.
On voudrait savoir si elle est développable en série entière en 0, et si
oui, trouver son développement en série entière.
On remarque que f'(x) = a(l + x)°'- 1 donc (1 + x)f'(x) = a.f(x).
On considère alors l'équation différentielle
13.43.
(1 + x)y' - a.y= O.
L'étude théorique qui sera faite au chapitre 18 permet de savoir que,
pour chaque couple ( xo, YO) E] - 1, +oo [ x IR il existe une et une seule
solution de 13.43. vérifiant la donnée initiale y(xo) = YO· Donc ici, comme
la fonction f est solution de 13.43 et qu'elle vérifie l'égalité J(O) = 1, f
est la seule solution de 13.43 valant 1 en O.