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Analyse fonctionnelle
Ainsi, l'identité 1 - tn+l = (1 - t)(l + t + ... + tn), conduit, pour
t =f:. 1, à l'identité
1
tn+l
-1- = 1 + t + ... + tn + -1- t
- t
tn+l
et, comme pour ltl < 1, lim - 1 - , on a directement ici la convergence
n-++oo - t
de la série des tn vers la fonction t - - 1
1 , sur] - 1, 1[ sans référence
-t
à la série de Taylor, ou à quoi que ce soit. On a
13.36.
1
OO
1 _ t = L tn, R = 1, convergence sur] -1, 1[.
n=O
On en déduit, (t donne -t sur] - 1, 1[), que
13.37.
1
OO
- 1 - = L(-l)ntn sur] -1, 1[, R = l.
+t n=O
Comme les séries entières s'intègrent terme à terme, (corollaire 13.17),
ona:
13.38.
OO
n+l
OO
p
Log(l +x) = L(-l)n_x - = L(-l)p-l~, R = 1
n=O
n+ 1 p=l
P
et
OO
p
Log(l-x)=-I:~. R=l.
n=l P
13.39. Une remarque : la fonction x - Log ( 1 + x) est continue sur
xP
] -1, +oo[, la fonction somme de la série entière des (-l)P- 1 - , S(x) =
p
oo
xP
L ( -1 )p-l _ converge pour x = 1 (série alternée dite harmonique) donc
p=l
p
S est continue sur [O, 1], (Théorème 13.19), et comme S(x) =Log (1 +x)
sixE[O,l[onaS(l)= lim S(x)= lim Log(l+x)=Log2.
X-+1X-+1-