Séries entières
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·
Cln+l
lx-xol
, .
vers 0 car, pour x =I xo, - - =
2 tend vers 0, donc la sene des
an
n+
an converge, donc la suite des an tend vers 0, (vrai six= xo aussi). •
Exemples. La fonction x ~ f(x) = cosx est de classe C 00 sur IR,
j donc f est égale à sa série de Taylor en chaque xo, avec un rayon de
convergence infini. En particulier en 0, j(n)(O) = cos (ni) = 0 sin
impair, et= (-l)P sin= 2p d'où
13.31.
oo (-l)Px2P
COSX =:;, (2p)! , R =OO.
De même g( x) = sin x a ses dérivées de tout ordre majorées en module
par 1, g(n)(O) =sin (ni) est nul cette fois pour n pair et vaut (-l)P si
n = 2p+ 1 d'où
13.32.
.
oo (-1 )Px2P+l
smx =:;, ( 2 p+ l)! , R = oo.
Pour la fonction exponentielle, f(x) =ex, on a j(n)(x) =ex qui est
donc bornée sur chaque segment [-r, r] parer. La série de Taylor de f en
x, convergera donc sur [-r, r] vers la fonction exponentielle, et ceci pour
chaque r > 0, donc f est encore égale à sa série de Taylor sur IR. Comme
j(n) (0) = e 0 = 1, il vient
13.33.
OO
n
ex=~~' R=oo.
L...,,, n!
n=O
Par addition et soustraction, opérations licites sur les séries entières,
on obtient
13.34
oo
2n
oo x2n+l
chx = E (~n)! et shx = E ( 2 n + l)!
(rayons de convergence infinis).
13.35. Parmi les arguments justifiant un développement en série entière,
il peut y avoir des identités.