150 Analyse fonctionnelle
4. Développements en série entière des fonctions usuelles :
cas réel
Partant d'une fonction de classe C 00 , définie sur un ouvert de IR, à
valeurs réelles, nous avons vu les trois points suivants :
1) si elle est développable en série entière en xo, la seule série
oo j(n)(xo)
candidate est L 1 (X - xo r, appelée série de Taylor de f en
n=O
n.
xo;
2) malheureusement, cette série de Taylor peut avoir un rayon de
convergence nul;
3) même si le rayon de convergence est non nul, la série de Taylor peut
converger vers autre chose que la fonction.
Il faut donc d'autres arguments pour assurer la convergence de la série
de Taylor vers la fonction. Ce peut être la formule de Taylor Lagrange
(Théorème 7 .44).
THÉORÈME 13.29. - Soit une fonction f de classe C 00 de I intervaUe de IR
dans IR. Pour que f soit développable en série entière en xo intérieur à I, il
faut et il suffit qu'il existe un voisinage V de xo dans I tel que le reste de
Taylor Lagrange d'ordre n entre x et xo, tende vers 0 si n tend vers l'infini,
ceci pour tout x de V.
Car, Vx E J, Vn EN, 3~(n,x) entre x et xo tel que
n f(p)( )
(
)n+l
f(x)=L
,xo (x-xo)P+ x-xo 1 f(n+l)(e(n,x))
p=O
p.
(n + 1).
(x - xo)n+l
et ce reste d'ordre n, Rn(x) =
(n+ l)! j(n+l)(~(n,x)) apparaît
comme la différence entre f(x) et la somme partielle de rang n de sa
série de Taylor : s'il tend vers 0 on a directement la convergence de la
série de Taylor de f en xo vers la fonction f.
•
13.30. On peut remarquer que ce sera le cas si on trouve un voisinage de
xo sur lequel les dérivées j(n) sont bornées uniformément en n, car avec
V(xo) et M tels que Vn EN, Vt E V(xo), IJ(n)(t)I ~ M, le reste d'ordre
lx-xoln+l
n devient majoré en valeur absolue par an = ( n + 1 ) ! M et an tend