Séries entières
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obtenir f analytique. Par contre, la suite de cette étude montrera que,
dans le cas complexe c'est beaucoup plus simple.
Avant de traiter le cas réel, un résultat expliquant en partie pourquoi
on a eu des ennuis avec le 2e exemple.
THÉORÈME 13.28. - Sur un ouvert connexe n de ~. (ou de CJ les zéros
d'une fonction analytique non identiquement nulle sont isolés.
En effet, on remarque d'abord que, si les an ne sont pas tous nuls,
OO
et si la série entière S(z) = L an(z - zo)n a un rayon de convergence
n=O
non .nul, il exister > 0 tel que (0 < lz - zol ~ r) =? (S(z) =fa 0), car si
no= inf {n; an=/: O}, on a
S(z) = (z - zo)no (an 0 + f: an(z - zo)n-no)
n=no+l
OO
et la fonction somme g( z) = an 0 + L an ( z - zo) n-no étant continue,
n=no+l
non nulle en zo reste localement non nulle d'où, si no ~ 1, zo zéro isolé
de s' et si no = 0, s localement non nulle.
Soit alors A = n (/(n))- 1 (0) avec f analytique sur le domaine,
nEN
(ouvert connexe) n.
C'est un fermé, (intersection de fermés) ouvert de n car si zo E A,
la série de Taylor de f en zo est nulle, mais f analytique est localement
égale à sa série de Taylor, donc il exister> 0 tel que pour iz - zol < r,
f = 0, donc j(n) = 0 et ce disque ouvert de rayon r est dans A qui est
bien ouvert dans n, (on prend r assez petit pour que Do(zo, r) cm.
Conséquence : si f est non identiquement nulle, A est vide sinon
A = n, f serait partout égale à sa série entière de Taylor, toujours nulle.
Mais alors si zo annule /, 3no avec j(no)(zo) =fa 0, et le début de la
démonstration prouve que localement zo est le seul zéro de f.
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