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Analyse fonctionnelle
.
OO 2n(2p+l)
On a donc j( 2 P)(Q) = 0 et j( 2 P+l)(O) = (-l)P L nn , donc le
n=l
terme général de la série de Taylor devient
w = j(2p+l)(o) x2p+1 = (-l)P (~ 2n(2p+l)) x2p+1.
P
(2p + 1)!
(2p + 1)! 2i_ nn
Eh bien, pour x ~ 0, Wp ne tend pas vers 0, car
lxl2p+l 2(2p+1)(2p+l)
lwpl ~ (2p + 1)! (2p + 1)2P+l
(on ne garde qu'un terme dans la série de termes positifs donnant
j(2p+l) (0)).
A fortiori
et
1 ( lxl2 2 P+l) = ( 2
l) [l 2
lnlxl _ 2ln(2p+1)]
n (2p+1)2
p+
n +2p+l
2p+l
tend. vers +oo si p tend vers +oo, on voit bien que lim lwpl = +oo.
n--++oo
On vient donc de construire une fonction f de classe C 00 , dont la série
de Taylor en 0 a un rayon de convergence nul : elle n'est pas analytique.
EXEMPLE 13.27. - On définit f de IR dans R par f(x) = 0 si x ~ 0 et
f(x) = e-l/x
2 six> O. Elle est de classe C 00 sur ]-oo, O[ et sur JO, +oo[.
Ses dérivées de tout ordre à gauche en 0 sont nulles, or on justifie par
.
Pn(x) l/ 2
récurrence, que pour x > 0 la dénvée d'ordre n est du type -a-e- x ,
X n.
avec an EN et Pn polynôme en x. La présence de e-l/x
2 implique donc
que f et toutes ses dérivées ont une limite nulle à droite en 0, d'où f de
classe C 00 sur IR, et, Vn E N, J(n) (0) = O.
La série de Taylor de f en 0 est donc ... la série nulle, de rayon de
convergence infini mais de somme différente de f.
Ces deux exemples montrent que, sur IR la situation n'est pas simple,
et qu'il va falloir des conditions supplémentaires à la classe C 00 , pour