Séries entières
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On a le même énoncé pour une fonction de variable réelle à valeurs
réelles.
DÉFINITION 13.25. - Soit une fonction f définj,e sur un ouvert n de IR (ou
de CJ à valeurs dans R (ou CJ. Elle est dite analytique sur n si elle est
développable en sém entière en tout zo de n.
Si f est analytique sur n, elle est de classe C 00 , et on s'attend à ce
que réciproquement ... eh bien non! Dans le cas réel ça coince.
Soit une fonction de classe C 00 de n ouvert de IR dans IR, alors il se
peut qu'en xo de n sa sém de Taylor ait un rayon de convergence nul, ou
qu'elle ne converge pas vers la fonction.
Donc dans le cas réel : classe C 00 *' analytique.
Voyons cela sur deux exemples.
EXEMPLE 13.26. - On définit la fonction Un de R dans R par
sin2nx
.
.
un(x) =
pour n ~ 1, et on considère la séne des Un.
nn
On a llunlloo = _..!:._ ~ 2- 2 , pour n ~ 2, il y a convergence normale
nn
n
~ sin2nx
.
vers une fonction somme f ( x) = L.,,, nn qw est de classe 0 00 car,
n=l
2np sin ( 2nx + p~)
(2P)n
Vp E N*, u~[»(x) =
nn
2 et lluW)lloo = ~ or, (p
fixé) il existe no tel que 2 P = k < 1, donc Vn ~ no, l lu}f) l loo ~ kn
no
terme général d'une série convergente, il y a convergence normale de
chaque série des dérivées. Par des applications successives du théorème
de dérivation d'une série, (Théorème 12.32), on justifie donc que f est de
classe C 00 • Considérons sa série de Taylor en 0 : c'est la série entière de
f(P)(O)
terme général - - 1 -xP.
p.
Or
2 np . ( 7r)
oo
sm poo 2 np
f(P)(o) ="'
2 =sin (P~) "'-.
L.,,,
nn
2 L.,,, nn
n=l
n=l