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Analyse fonctionnelle
COROLLAIRE 13.22. - Soit S la fonction somme de la série des anzn, de
rayon de convergence R.. Elle est indéfiniment dérivable sur le disque ouvert
+oo
de convergence et 'Vp EN, 3(p)(z) = L n(n - 1) ... (n - p + l)anzn-p.
n=p
En particulier sP(O) = p!ap.
On dira que f est de classe C 00 •
Une question se pose naturellement : si on part de f de classe
C 00 , peut-on la représenter, du moins localement, par la somme d'une
série entière. Nous allons étudier ce problème qui nous réserve quelques
surprises.
3. Développements en série entière : analycité
DÉFINITION 13.23. - Soit une fonction f définie sur un voisinage V de zo,
(dans C, ou dans R). Elle est dite développable en série entière en zo, s'il
existe une série entière de terme général anzn et de rayon de convergence
OO
R > b telle que sur V n Do(zo, R), f(z) = L an(z - zor.
n=O
Il faut bien remarquer qu'à la suite de coefficients an. on associe
la série de fonctions de terme général an(z - zor d'où le en zo de la
définition, où on note Do(zo, R) le disque ouvert de centre zo, de rayon
R.
.
Il est clair, vu le§ 2, que si c'est le cas, sur V n Do(zo, R) la fonction
f est indéfiniment dérivable, que pour chaque p de N on a
+oo
1(p>(z) = I:: n(n - 1) ... (n - p + 1)an(z - zor-p
n=p
et qu'en particulier J(p)(zo) = p!ap donc les an sont parfaitement déter. ' · f
de l
C 00
j(n)(zo) C ·
'
'
t
mines si est
c asse
par an =
1
• eci amene a une au re
n.
définition :
DÉFINITION 13.24. - Soit f une fonction de classe C 00 sur un voisinage
V de zo, à valeurs dans C, on appelle série de Taylor de f en zo la série
J(n)(zo)
entière de terme général
1
( z - zo) n.
n.