Séries entières
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Pour n = 0, le terme est nul, et pour n ;ai: 1 on pose
d'où
un(z, h) =an (~(z + h- z)((z + hr- 1 + (z + h)n- 2 z + ...
. . . + (z + h)zn-2 + zn-1) - nzn-1)
=an ( +zn-1 _ nzn-1)
puisque chacun des n termes ( z + h r-i zi-l se majore en module par
rn-1.
Or Ve > 0, 3no, L 2lanlnrn-l < ~· puisque la série des
n>no
2nlanlrn-l converge, on a donc, Vh avec 0 < lhl ~ r - lzl,
Or,pourchaquen ~no, on a lim Un(z,h) = an(nzn- 1 -nzn-l) = 0,
h->O
no
c'est une somme finie de limites, donc finalement lim L Un(z, h) = 0:
h->O n=l
à e (le même) on associe a > 0 tel que 0 < lhl < a implique :
IÈ Un(z, h)l ~ ~et finalement
.
IS(z+h)-S(z)
1
O
h
-S1(z) ~e
la somme de la série dérivée est bien égale à la dérivée de la fonction
somme S.
•
Mais alors, la fonction somme d'une série entière, de rayon de convergence R > 0, cela se dérive et s'intègre terme à terme dans le disque
ouvert de convergence. On a donc :