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Analyse fonctionnelle
A rapprocher de la justification du Théorème 11.67.
Venons en enfin au théorème de dérivation terme à terme.
THÉORÈME 13.21. - Soit une série entière complexe, de terme général anzn,
de rayon de convergence R >O. La série entière des nanzn-l a le même
rayon de convergence Il, et pour izl < Il, sa somme est la fonction dérivée
de la somme S de la série initiale.
On définit la dérivée en zo d'une fonction f de la variable complexe z
P ar f'(zo) = lim f(zo + h) - f(zo) 1
tte limite · te
h->O
h
, orsque ce
exis .
heC-{O}
Soit R' le rayon de convergence de la série des nanzn-l.
Si r < R', la série des nlanlrn-l converge, elle majore celle des
lanlrn-l qui converge donc, ainsi que celle des lanlrn, (on multiplie par
r), mais alors R ~ r, et ce pour tout r < R', d'où R ~ R'.
Soit alors r e]O, R[, on veut prouver la convergence de la série des
nlanlrn-l, et pour «gommer» le n en facteur, on va introduire un
r' E]r, R[ et écrire
.
1 ( r )n
Un+l
n + 1 r
r
.
Soit Un = -n 1
, on a - - = - - 1 , tend vers 1 < 1, la séne
r
r
Un
n r
r
de terme général positif Un converge donc lim Un = 0 : la suite Un est
n-++oo
bornée par une constante Met alors nlanlrn-l ~ Mlanlr'n, terme d'une
série convergente, (r' < R) d'où la convergence de L nlanlrn-l. On a
n;;i:l
donc r ~ R', et ce pour tout r < R d'où R ~ R' et l'égalité R = R', ainsi
justifiée sans recourir à Hadamard. On note S1(z) la somme de la série
des nanzn-l, n ~ 1 et on veut prouver que, pour izl < R,
S ( ) _ S'( ) _ 1 .. S(z + h) - S(z)
1zz-1m
.
h->O
h
h#O
Pour cela on se fixer avec izl < r < R, et on considère h E C avec
0 < lhl ~ r - lzi. On aura iz +hl ~ r. Puis on a
S(z + h) - S(z) S ( ) ~ (an [( h)n n]
n-1)
h
- 1 z = L...J h z + - z - nanz
.
n=O