Séries entières
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De plus, Ve > 0, 3no, 'Vn ~no, Vs~ n, JSn,sl ~ e, vu la convergence,
uniforme en() E [a, ,8], de la série des an(Rei 8 )n, d'où 'Vn ~ no, 'Vq > n,
'Vz = rei 8 avec 0 ~ r ~ R et () E [a, ,8],
q 1 q-l ((r)s (r)s+l) (r)q
~ a8 z
8
~ ~ ê R - R
+ ê R soit
~ e(~f ~e.
C'est vraïsi q = n car Janznl = ISn,nl (~) n ~ ISn,nl ~ ê.
On a bien le critère de Cauchy uniformément en z, d'où la convergence
uniforme sur l'ensemble des z = rei 8 , 0 ~ r ~ R, () E [a,,8].
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COROLLAIRE 13.19. - Si une série entière réelle L anxn, de rayon de
convergence R., converge en R., il y a convergence uniforme sur [O, R] et sa
fonction somme est continue en R.
Ceci sera exploité pour justifier que Log 2 = L ( -l ~n-l par exem1
n~l
pe.
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COROLLAIRE 13.20. - Soient deux séries de termes généraux complexes
Un et Vn, convergentes, de sommes U et V, telles que la série produit des
Wn = UQVn + u1Vn-l + ... + UnVO converge. A/,ors W = UV, avec W
somme des Wn.
On considère, pour x réel, les 3 séries entières de termes généraux
UnXn, VnXn et WnXn. Elles convergent pour x = 1, donc elles convergent
uniformément pour x E [O, 1] vu le Théorème 13.18, et définissent trois
fonctions continues de [O, 1] dans C,
n
n
n
Pour x E [O, 1[ la convergence est absolue, donc f(x)g(x) = h(x), il
en résulte que
W = lim h(x) = lim (f(x)g(x)) = ( lim f(x)) ( lim g(x))
x-+1soit finalement W = UV.
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