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Analyse fonctionnelle
xn+l
.
La série entière des an-- a un rayon de convergence R1 ~ R,
n+l
rayon de convergence de la série initiale, et, pour x E]- R, R[ une fonction
somme qui est une primitive de 8, puisque 8 est continue. En fait grâce
à la remarque suivant le théorème d'Hadamard, (Théorème 13.12) on sait
que R1 = R.
On pourrait en déduire que la série des dérivées terme à terme
a aussi R pour rayon de convergence, (c'est la série des nanxn-l, et
lim sup(nlanl)~ = lim sup lanll/n) et pour fonction somme 81(x) la
dérivée de 8 car en intégrant 81 on obtient 8(x) = ao + J~ 81(t)dt,
OO
avec 81 continue, d'où 8'(x) = 81(x) = L nanxn-l.
n=l
Mais ce type de raisonnement ne s'applique pas au cas complexe,
aussi allons nous justifier directement la dérivabilité terme à terme d'une
série entière. Mais auparavant on va préciser un peu plus la convergence
uniforme éventuelle.
THÉORÈME 13.18. - Soit une série entière 8(z) = L anzn de rayon de
n;li:O
convergence R > O. Si la série converge pour z = Rei 8 , ·avec a ~ () ~ /3,
(/3 - a ~ 271" ), uniformément en (), elle converge uniformément pour les
z = rei 8 , avec lrl ~ R et () E [a:, .B].
Avoir la convergence uniforme, c'est avoir le critère de Cauchy uniformément en z, (remarque 12.14).
Pour z = rei 8 , on pose anzn = an~einB ( ;) n et on effectue une
transformation d'Abel.
p
Si on pose 8n,p = L ak(Rei 8 )k, pour p ~ n, on aura, pour q > n
k=n
tasZ 8 =8n,n(;)n + t (8n,s-8n,s-i)(;)s
s=n
s=n+l
q-1
= ~ 8n,s ( (;r -(;r+l) + 8n,q (;f.
r
(r)s (r)s+l
On a 0 ~ R ~ 1, donc R - . R
~ O.