Séries entières
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SB. La série produit de terme général CnZn avec Cn = aobn + aibn-1 +
... + anbo a un rayon de convergence Re tel que Re ;;:i: inf(RA, RB)
et une fonction somme Sc vérifiant Sc(z) = SA(z)SB(z) pour lzl <
inf(RA, RB)·
Et on a remarqué que l'on peut avoir Re > inf(RA, RB) même si
RA=faRB·
•
Venons en au mode de convergence. On a :
THÉORÈME 13.15. - Une série entière de rayon de convergence R > 0
converge uniformément sur tout disque fermé Dr avec Dr = { z; lzl :s=; r },
pour r < R,.
En effet, vu la définition de R, pour un zo avec lzol = r, la série
L lanl lzoln converge, mais alors, sur Dr il y a convergence dominée
(voir définition 12.25) donc uniforme, puisque lanznl :s=; lanlrn dans ce
cas.
Il en résulte qu'il y aura convergence uniforme sur tout compact K
du disque ouvert de convergence, puisque la distance de K au compact
rR = {z, lzl = R}, (si R =fa +oo) étant atteinte, est> 0, et il est facile de
trouver r < R tel que K C Dr.
•
Il en résulte surtout que :
COROLLAIRE 13.16. - La fonction somme d'une série entière est continue
sur le disque ouvert de convergence.
Car si lzol < R, en prenant r avec lzol < r < R, zo devient intérieur
au disque Dr sur lequel on a convergence uniforme d'une série de fonctions
continues.
•
COROLLAIRE 13.17. - Soit une série entière réelle, de terme général anxn,
de rayon de convergence R,. Sur tout segment [a, b] c] - R, R[ on peut
intégrer terme à terme la série.
Puisqu'il y a convergence uniforme sur [a, b], le Théorème 12.31 s'applique. On note S la fonction somme de la série des anxn. Pour lxl < R,
ona