140
Analyse fonctionnelle
Considérons le produit
Si anzn et bnzn sont les termes généraux de deux séries entières,
on appelle série produit, la série de terme général enzn avec Cn =
(aobn + aibn-1 + ... + anbo). Il s'agit de la série produit étudiée au
chapitre 11 ou nous avons vu au Théorème 11.63 que le produit d'une série
convergente et d'une absolument convergente était une série convergente.
Il en résulte ici que, si lzl < inf(RA, RB), les deux séries des anzn et bnzn
étant absolument convergentes, la série produit est convergente donc on
a Re ~ inf(RA,RB), et la fonction somme Se(z) = SA(z)SB(z). On
sait même (théorème 11.67) que cette égalité est vérifiée dès que les trois
séries convergent.
Mais ici, on peut avoir des situations bizarres. Si on prend le développement en série entière (j'anticipe) de
1- Z
OO
SA(z) = - - = 1+~2n-lzn
1 - 2z
L.,,
n=l
on a RA = ~; et celui de
1-2z
~
SB(z) = 1 _ z = 1 - L.,, zn
n=l
où RB = 1, si on note Cn le coefficient de zn dans la série produit, on
trouve C() = 1, et pour n ~ 2, Cn = (2n-l - (2n- 2 + ... + 1 + 1)) =
2n-l - ( 2 ~-~ ~ 1 ) - 1 = 0 et C1 = 1 - 1 = 0 aussi, la série produit
est réduite à 1 et Re = +oo.
Cet exemple montre qu'avec RA =fa RB on peut avoir Re >
inf (RA, RB), mais aussi que le produit de deux séries divergentes peut
converger, (prendre lzl = 3 par exemple), ou que le produit d'une série
divergente et d'une convergente peut aussi converger, (prendre z avec
2
lzl = 3).
Il en résulte qu'en dehors des énoncés précis et démontrés, il faut se
méfier des affirmations non justifiées, et que face à un énoncé nouveau,
mieux vaut se dire « si c'était vrai, cela se saurait» que de se dire « si
c'est faux, le prof n'a qu'à le prouver» attitude largement répandue.
On vient de justifier le
THÉORÈME 13.14. - Soient deux séries complexes de termes généraux anzn
et bnzn, de rayons de convergence RA et RB, de fonctions sommes SA et