Séries entières
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n*lanl~. ou encore e.;Lognlanl~. et comme lim e.;Logn = 1, (q est
n-++oo
fixé) la limite supérieure des (nqlanl) 1 1n existera en même temps que
celle des lanll/n, et lui sera égale en cas d'existence.
On comprend intuitivement que des dérivations ou intégrations terme
à terme ne modifieront pas le rayon de convergence.
2. Propriétés des séries entières
Il y a des propriétés liées aux opérations sur les séries, et d'autres aux
fonctions sommes, en relation avec le mode de convergence.
THÉORÈME 13.13. - Soit deux séries entières de termes généraux anzn et
bnzn, de rayons de convergence RA et RB, de fonctions sommes SA(z) et
SB ( z) sur leurs domaines de convergence. La série somme de terme général
CnZn = (an + bn)zn a un rayon de convergence Re ~ inf (RA, RB) et
une fonction somme Se(z) avec Se(z) = SA(z) + SB(z) si SA et SB
convergent.
·
Si RA =/: RB, Re = inf (RA, RB), mais si RA = RB Re peut être
supérieur à inf (RA, RB).
Ilestclairquepour lzl < inf (RA, RB), les séries ~=>nzn et L bnzn
convergent, donc L(an + bn)zn converge, donc Re~ lzl. De plus, dans
le cas où SA(z) et SB(z) existent, on a bien SA(z) + SB(z) = Se(z).
Si RA =/: RB, par exemple RA < RB, et si pour un zo vérifiant
RA < lzo 1 < RB on avait convergence de la série des (an+ bn)zl)', comme
celle des bnzl)' converge aussi, par soustraction on aurait convergence de
L anzé)' : c'est exclu. Dans ce cas Re = inf(RA, RB)·
Mais si RA= RB, Re peut augmenter. Prenons par exemple
L(l + 2n)zn et L(l - 2n)zn, ces deux séries ont pour rayon de
convergence ~, ( 1 u:: 1 1---t 2lz1 si z =/: 0) , alors que la série somme, de
terme général 2zn a pour rayon de convergence 1.
•
On vérifierait de même que pour À E C*, la série des Àanzn a RA pour
rayon de convergence, même domaine de convergence en fait et ÀS A pour
fonction somme.