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Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 13.11. (d'Hadamard)- Soit une série entière de terme général
1
anzn. Son rayon de convergence Rest égal à .
l/ , avec la
hm suplanl n
convention R = 0 si la limite supérieure n'existe pas.
Remarquons d'abord que pour des nombres positifs (un)nEN•
( lim supun existe)# (U ={un; n EN borné}).
n-++oo
En effet, si lim sup Un = l existe, soit e = 1, 3no, Vn ~ no, Un ~ l + 1,
n-++oo
et ... (sans intérêt), donc sup{uo, u1, ... , Uno-1• l + 1} majore U.
Réciproquement si U est borné, dans le cas où card(U) fini il y a des
valeurs prises une infinité de fois, si card(U) infini, U admet des points
d'accumulation. De toute façon l'ensemble V = { points d'accumulations
de U et des valeurs Un prises « une infinité de fois »} est non vide, borné,
(comme U) alors M borne supérieure de V existe et M est la limite
supérieure des Un. En effet, soit ê > 0, si cardinal { n; Un ~ M + ê}
infini, on aurait un élément de V supérieur à M + e : absurde, donc 3no,
Vn ~ no, Un ~ M + e; puis M - i ne majore plus V, 3v E V avec
M - ê < M - i ~ v ~ M mais, que v soit point d'accumulation, ou
valeur prise une infinité de fois, on aura card { n; Un ~ M - ê} infini.
Supposons que lim sup lanll/n n'existe pas, la série diverge pour tout
n-++oo
zo -:f:. 0, car en cas de convergence, {lanz(;-1; n E N} serait majoré,
(par K) puisque anzl{ tend vers 0, mais alors lanl 1 /nlzol ~ K 1 1n et
lim K 1 1n = 1 : l'ensemble des lanll/n serait finalement majoré et
n-++oo
lim sup lanll/n existerait. On a donc bien R =O.
n-++oo
Par contre, si lim sup lanll/n = l, on aura lim sup lanznll/n = llzl
n-++oo
n-+oo
et on sait alors que pour lzl < ~la série converge et qu'elle diverge pour
1
1
lzl > Î' (Théorème 11.42), d'où R = z·
•
REMARQUE 13.12. - Ce résultat parait peu utile, mais il permet déjà de
remarquer que, pour tout choix de q dans l, une série entière L anzn, et
la série des nqanzn auront même rayon de convergence, car ylnqlanl =
Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 13.11. (d'Hadamard)- Soit une série entière de terme général
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anzn. Son rayon de convergence Rest égal à .
l/ , avec la
hm suplanl n
convention R = 0 si la limite supérieure n'existe pas.
Remarquons d'abord que pour des nombres positifs (un)nEN•
( lim supun existe)# (U ={un; n EN borné}).
n-++oo
En effet, si lim sup Un = l existe, soit e = 1, 3no, Vn ~ no, Un ~ l + 1,
n-++oo
et ... (sans intérêt), donc sup{uo, u1, ... , Uno-1• l + 1} majore U.
Réciproquement si U est borné, dans le cas où card(U) fini il y a des
valeurs prises une infinité de fois, si card(U) infini, U admet des points
d'accumulation. De toute façon l'ensemble V = { points d'accumulations
de U et des valeurs Un prises « une infinité de fois »} est non vide, borné,
(comme U) alors M borne supérieure de V existe et M est la limite
supérieure des Un. En effet, soit ê > 0, si cardinal { n; Un ~ M + ê}
infini, on aurait un élément de V supérieur à M + e : absurde, donc 3no,
Vn ~ no, Un ~ M + e; puis M - i ne majore plus V, 3v E V avec
M - ê < M - i ~ v ~ M mais, que v soit point d'accumulation, ou
valeur prise une infinité de fois, on aura card { n; Un ~ M - ê} infini.
Supposons que lim sup lanll/n n'existe pas, la série diverge pour tout
n-++oo
zo -:f:. 0, car en cas de convergence, {lanz(;-1; n E N} serait majoré,
(par K) puisque anzl{ tend vers 0, mais alors lanl 1 /nlzol ~ K 1 1n et
lim K 1 1n = 1 : l'ensemble des lanll/n serait finalement majoré et
n-++oo
lim sup lanll/n existerait. On a donc bien R =O.
n-++oo
Par contre, si lim sup lanll/n = l, on aura lim sup lanznll/n = llzl
n-++oo
n-+oo
et on sait alors que pour lzl < ~la série converge et qu'elle diverge pour
1
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lzl > Î' (Théorème 11.42), d'où R = z·
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REMARQUE 13.12. - Ce résultat parait peu utile, mais il permet déjà de
remarquer que, pour tout choix de q dans l, une série entière L anzn, et
la série des nqanzn auront même rayon de convergence, car ylnqlanl =