Séries entières
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convergence, si lzl > 1, divergence, R = 1. Or si lzl = 1, lttn(z)I =
1
(
) 2 : il y a convergence (absolue) sur tout le bord du disque de rayon
n+l
1, soit pour lzl = R = 1 ici.
OO
n
ExEMPLE 13.7. - L:-z-, la règle de d'Alembert donne encore R = 1,
n=On+l
mais, si lzl = 1, soit si z =cos(}+ i sin(}= ei 8 , pour(} =f 0(27r) on a
1
q
. 1
1
1
L einB ~ -
1
. (}
1
. (Théorème 11.86), et comme n + 1 tend vers 0 en
n=p
Sln2
décroissant, par transformation d'Abel la série converge (Théorème 11.83).
1
Par contre, si(}= 0(27r), :L:-- diverge. Ici le domaine de convergence
n+l
est le disque de rayon 1, fermé, privé de 1.
EXEMPLE 13.8. - L znl, si z =f 0, 1 Un+l I = J.:L 1 tend vers 0 : il y a
n.
Un
n+
convergence pour tout z : R = +oo.
EXEMPLE 13.9. - L n!zn, si z =f 0, 1 u:: 1 I = (n + l)lzl tend vers +oo,
il y a divergence donc R = O.
Ces exemples montrent donc que le domaine de convergence est un
disque ouvert, de rayon R, rayon de convergence, auquel peut s'adjoindre
une partie du bord du disque.
Ils peuvent laisser croire que l'on conclut grâce à d'Alembert ou Cauchy
(critères des séries). C'est souvent le cas, mais pas toujours.
EXEMPLE 13.10. - L anzn avec an nième chiffre derrière la virgule du
développement décimal de ./7.
On a an ~ 9, donc lanznl ~ 9 · lzln, série qui converge pour lzl < 1
donc R ~ 1. Puis ./7 non décimal donc il existe une infinité de chiffres
supérieurs ou égaux à 1, si lzl ~ 1 on a alors lanznl ~ 1, donc anzn ._ 0:
la série diverge pour lzl ~ 1d'oùR=1 et le domaine de convergence est
le disque ouvert ici.
On peut préciser un résultat général concernant le rayon de convergence. On a: