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Analyse fonctionnelle
Or 1 : 0 1 < 1, donc 1 : 0 r est le terme général d'une série géométrique
convergente, a fortiori la série des lanznl converge.
Si zo = 0, il n'y a pas de z avec 1z1 < 0, le problème est résolu. •
THÉORÈME 13.3. - Soit une série entière de terme général anzn. Il existe
un et un seul réel RE [O, +oo] tel que
si 1z1 > R la série diverge;
si lzl < R la série converge absolument, et
si lzl =Ronne peut rien conclure de général.
13.4 Ce réel Rest appelé le rayon de convergence de la série.
Soit e = {lzol; zo E C, L:anz8 converge}. Cet ensemble n'est pas
vide, car il contient O. Dans R il est majoré ou non. Si e est majoré, soit
R sa borne supérieure.
Si R = 0, pour z ::f 0, L anZn diverge, sinon lzl E e et on aurait
R ~ lzl > O. On a bien le résultat.
Si R > 0, pour lzl > R, la série diverge, sinon lzl E e et on aurait
R ~ lzl, alors que si lzl < R, il existe zo tel que L anz8 converge
et lzl < lzol ~ R, sinon lzl majorerait e, mais alors (Théorème 13.2),
L lanznl converge. On a là encore le résultat.
Enfin, si e n'est pas majoré, Vz E C, il existe zo avec lzol > lzl
et L anz8 converge, (sinon lzl majore ê), donc (Théorème 13.2), il y a
convergence absolue en z. Si on pose R = +oo, on aura bien convergence
absolue, pour tout z vérifiant lzl < +oo, c'est-à-dire tout z de C. Et pas
de div~rgence mais ... il n'y a pas de z vérifiant lzl > +oo.
•
Des exemples montrant que pour lzl = R tout peut se produire.
OO
EXEMPLE 13.5. - L zn, y'jZnî = lzl : si lzl < 1, il y a convergence, si
n=O
lzl ~ 1, zn .,.. 0 : divergence. On a R = 1 et divergence pour lzl = R.
oo
Zn
zn
EXEMPLE 13.6. - L ( ) 2 . Avec un(z) = ( l) 2 , pour z ::f 0
n=O n+l
n+
on a i~(;;)I = lzl (:!!)
2
, tend vers lzl donc, si lzl < 1 il y a