CHAPITRE 13
Séries entières
Nous allons appliquer les résultats tout neufs du chapitre XII à des
séries d'un type particulier, adaptées à la représentation des fonctions de
variable réelle ou complexe, à valeurs dans IR ou C,.de classe C 00 • Et nous
verrons que, contrairement à ce que peut laisser penser le vocabulaire, « si
c'est complexe, c'est simple, mais si c'est réel, alors là ... »
1. Définitions, domaine de convergence
DÉFINITION 13.1. - On appelle série entière réelle, (resp. complexe) toute
série de fonctions (un)nEN• avec Un fonction du type x.,,.. itn(x) = anxn,
(resp. z - Un(z) = anzn) X étant dans IR ainsi que les an, (resp. z et les
an complexes).
En somme, c'est la donnée de la suite des an qui compte. Je traiterai
le cas complexe, le cas réel s'en déduisant facilement. On va commencer
par chercher le domaine de convergence d'une série entière, c'est-à-dire
l'ensemble des z pour lesquels la série des anzn converge.
THÉORÈME 13.2. - Si une série entière converge pour zo, elle converge
absolument pour z vérifiant izl < izol·
En effet, on a lim anz8' = 0, donc cette suite est bornée. Soit M
n-++oo
une co~stante telle que lanzlJ'I ~ M, pour tout n.
Si zo -=1- 0, et si izl < zo, on a
lanzni = ianzlJ'i I ~ r ~ M 1 ~ln