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21.
Analyse fonctionnelle
On a, \:le > 0, 3A, i+oo lf(t)ldt ~ e, donc pour tout n,
li+oo f(t) sin(Ànt)dtl ~ i+oo IJ(t)ldt ~ ê.
Si on prouve que, pour A fixé, lim 1A J(t) sin (Ànt)dt = 0 on aura,
.
n-+oo 0
pour le même ê > 0, l'existence de no tel que
\:ln~ no, l1A f(t) sin (Ànt)dtl ~ ê
et a fortiori 11+oo J(t) sin(Ànt)dtl ~ 2e donc la limite cherchée sera
nulle.
Or pour J(t) =constante= k sur [O, A] on a
1
A
k
0
f(t) sin (Ànt)dt = Àn (1 - cos ÀnA)
ceci tend vers 0 sin tend vers l'infini, car Àn tend vers l'infini, (ce qui justifie
Àn =/= 0).
Par linéarité de l'intégrale et des limites, si f est en escalier, on a
lim 1A J(t) sin (Ànt)dt =O.
n-+oo 0
Soit f intégrable sur fO, A], si on suppose f réglée, il existe g en escalier
telle que Il/- Ylloo < ê d'où
l1A J(t) sin (Ànt)dtl ~ 1A lf(t) - g(t)I · ldt + l1A g(t) sin (Ànt)dtl
~ e:A + l1A g(t) sin (Ànt)dtl
et 3no, \:ln ~ no, l1A g(t) sin(Ànt)dtl ~ ê, (g en escalier), d'où
l1A f(t) sin (Ànt)dtl ~ e(l +A) pour n ~ no, on a bien la limite nulle :
lim (1A f(t) sinÀntdt) =O.
n-+oo 0