Espaces fonctionnels
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On peut dériver terme à terme en x, (et y : fonction symétrique) car
âu
2nx 2 n-l
â n = 1
2 n
2 n et là encore si lxl ~ a < 1 et IYI ~ a < 1 on
X
+x +y
obtient 1 8 8 ~ (x, y) 1 ~ 2na 2 n-l : il y a convergence normale de la série des
dé . é d' , l' .
l
. "téd âS L 2nx2n-1
nv es ou existence et a continw
e - 8 =
1
2
2 , et on
x
+xn+yn
n~l
justifie en fait l'existence des dérivées de tout ordre car on obtient toujours
un majorant du type somme finie de termes en nkan-p, (k et p entiers): S
est de classe C 00 •
20. On a fn(l) = n sin 7r = 0, converge vers 0, et si t E [O, 1[, lim ntn = 0,
n-++oo
d'où lim fn(t) = O. La suite de fonctions fn converge simplement vers
n-++oo
f nulle. On évalue 11fn11 oo pour chercher la convergence uniforme.
On a f~(t) = ntn-l[n sin 7rt + 7rt cos7rt], f~ s'annule pour an solution de
l'équation tg 7rt = - 7rt.
n
slir ]o.~[. tg7rt > 0, - : < 0: pas de racine.
Sur J ~· 1 J la fonction t ~ 9n(t) = tg7rt + : est croissante de -oo à~
donc il existe un seul an E ] ~' 1 J tel que /~(an) = O. On a /~ > 0 sur
]O,an[ puis f~ < 0, avec fn(O) = fn(l) = 0, donc llfnlloo = fn(an) soit
encore llfnlloo =na~ sin7ran avec tg 7ran = - 7r~n et 7ran E J i,7r],
7ran
donc - - - tend vers 0, (7ran borné), c'est que 7ran tend vers 7r donc an
n
tend vers 1, puisque tg 7ran tend vers O.
En écrivant tg 7ran = tg ( 7ran - ·7r) = tg 7r( an - 1) avec an - 1 infiniment
petit, on a 7r( an - 1) ,...., - ~ donc an - 1 ,...., - .!. si n tend vers l'infini.
n-++oo n
n
Mais alors llfnlloo = nen Logansin7ran avec
n Logan= n Log(l +an -1) ~ n (-~)
donc lim n Log an = -1, et
n-++oo
sin 7ran =-sin 7r(an - 1),...., - (-~)
donc llfnlloo ,...., n~ et lim llfnlloo = ~ : il n'y a pas convergence
en
n-++oo
e
uniforme.