130
Analyse fonctionnelle
Or, (o et {3 fixés), les suites de termes généraux /n(o) - fn(a) et
a-a
fn(b) - fn(f3) convergent vers f(o) - f(a) et f(b) - f(f3), donc elles
b-{3
a-a
b-{3
sont bornées et il existe deux constantes m et M telles que Vn E N,
Vx E [o, {3], m ~ (/n)~(x) ~ (/n)~(x) ~ M, mais aussi telles que
Vx E [o,{3], m ~ f~(x) ~ fd(x) ~M.
Avec k = sup (lml, IMI), par accroissements finis, on a donc V(x, y) E
[o, {3] 2 , Vn E N, lfn(x)- fn(Y)I ~ klx-yl et aussi l/(x)-/(y)I ~ klx-yl,
donc aussi
l(f- fn)(x) - (/ - fn)(y)I ~ 2klx - YI·
Soit alors x E [o,{3], 3n(x), Vn ~ n(x), l(f- /n)(x)I ~~·mais alors si
lx - YI~ :k' et si y E [o,{3], on aura
ê
ê
IU-fn)(Y)I ~ IU-fn)(y)-(f-fn)(x)l+IU-fn)(x)I ~ 2k· 4k +2 = ê.
Donc Vx E [o, {3], 3n(x) E Net 3w(x) = J x - :k, x + :k [ n [o, {3] ouvert
de [o,{3] tels que Vn ~ n(x), Vy E w(x), l(f - fn)(y)I ~ e. Comme
w(x) est un ouvert de [o, {3] contenant x, on a [o, {3] = LJ w(x). De
xE[a,.8]
p
ce recouvrement on extrait un recouvrement fini [o, {3] = LJ w(xi) et si
i=l
no= sup{n(xï),i = 1, ... ,p}, Vn ~no, Vt E [o,{3] ona l(f-fn)(t)I ~ e
car t est dans l'un des w(xi) et n ~ n(xi).
On ne peut pas faire mieux : fn définie sur (0, 1] pour n ~ 2, par :
fn(x) = -nx+lsur [o,~J.osur [~,1-~J etn(x-1+~) sur
[ 1 - ~' 1 J est convexe, converge simplement vers f avec /(0) = f(l) = 1,
f = 0 sur JO, 1[, la convergence n'est pas uniforme sur (0, 1] ni ]O, 1[
d'ailleurs car Il/ - fnlloo = 1 sur JO, l[.
19.
Soitun(x,y) = Log(l+x 2 n +y 2 n). Si lxl ~ 1 ou IYI ~ 1, 1 +x 2 n +y 2 n
reste ~ 2 donc Un ( x, y) ~ Log 2 : la série diverge.
Si lxl < 1 et IYI < 1, lim x 2 n + y 2 n = 0 donc Un(x, y) ~ (x 2 n +
n-+oo
n-+oo
y 2 n) : la série converge sur le domaine V =] - 1, 1 [ 2 • La concavité de la
fonction Log donne l'inégalité Log (1 + t) ~ t sur] - 1, +oo[, (courbe sous
la tangente à l'origine) donc sur un compact K CV on aura a< 1 tel que
lxl ~ aet IYI ~a d'oùx 2 n+y 2 n ~ 2a 2 n et ILog (l+x 2 n+y 2 n)I ~ 2a 2 n:
il y a convergence normale donc la somme S est continue sur l'intérieur de
tout compact de V : elle est continue sur V.
Analyse fonctionnelle
Or, (o et {3 fixés), les suites de termes généraux /n(o) - fn(a) et
a-a
fn(b) - fn(f3) convergent vers f(o) - f(a) et f(b) - f(f3), donc elles
b-{3
a-a
b-{3
sont bornées et il existe deux constantes m et M telles que Vn E N,
Vx E [o, {3], m ~ (/n)~(x) ~ (/n)~(x) ~ M, mais aussi telles que
Vx E [o,{3], m ~ f~(x) ~ fd(x) ~M.
Avec k = sup (lml, IMI), par accroissements finis, on a donc V(x, y) E
[o, {3] 2 , Vn E N, lfn(x)- fn(Y)I ~ klx-yl et aussi l/(x)-/(y)I ~ klx-yl,
donc aussi
l(f- fn)(x) - (/ - fn)(y)I ~ 2klx - YI·
Soit alors x E [o,{3], 3n(x), Vn ~ n(x), l(f- /n)(x)I ~~·mais alors si
lx - YI~ :k' et si y E [o,{3], on aura
ê
ê
IU-fn)(Y)I ~ IU-fn)(y)-(f-fn)(x)l+IU-fn)(x)I ~ 2k· 4k +2 = ê.
Donc Vx E [o, {3], 3n(x) E Net 3w(x) = J x - :k, x + :k [ n [o, {3] ouvert
de [o,{3] tels que Vn ~ n(x), Vy E w(x), l(f - fn)(y)I ~ e. Comme
w(x) est un ouvert de [o, {3] contenant x, on a [o, {3] = LJ w(x). De
xE[a,.8]
p
ce recouvrement on extrait un recouvrement fini [o, {3] = LJ w(xi) et si
i=l
no= sup{n(xï),i = 1, ... ,p}, Vn ~no, Vt E [o,{3] ona l(f-fn)(t)I ~ e
car t est dans l'un des w(xi) et n ~ n(xi).
On ne peut pas faire mieux : fn définie sur (0, 1] pour n ~ 2, par :
fn(x) = -nx+lsur [o,~J.osur [~,1-~J etn(x-1+~) sur
[ 1 - ~' 1 J est convexe, converge simplement vers f avec /(0) = f(l) = 1,
f = 0 sur JO, 1[, la convergence n'est pas uniforme sur (0, 1] ni ]O, 1[
d'ailleurs car Il/ - fnlloo = 1 sur JO, l[.
19.
Soitun(x,y) = Log(l+x 2 n +y 2 n). Si lxl ~ 1 ou IYI ~ 1, 1 +x 2 n +y 2 n
reste ~ 2 donc Un ( x, y) ~ Log 2 : la série diverge.
Si lxl < 1 et IYI < 1, lim x 2 n + y 2 n = 0 donc Un(x, y) ~ (x 2 n +
n-+oo
n-+oo
y 2 n) : la série converge sur le domaine V =] - 1, 1 [ 2 • La concavité de la
fonction Log donne l'inégalité Log (1 + t) ~ t sur] - 1, +oo[, (courbe sous
la tangente à l'origine) donc sur un compact K CV on aura a< 1 tel que
lxl ~ aet IYI ~a d'oùx 2 n+y 2 n ~ 2a 2 n et ILog (l+x 2 n+y 2 n)I ~ 2a 2 n:
il y a convergence normale donc la somme S est continue sur l'intérieur de
tout compact de V : elle est continue sur V.